随机模型
随机模型
传送带的效率问题 在机械化生产车间排列整齐的工作台旁工人们紧 张地生产同一种产品,工作台上方一条传送带在运 转带上设置着若干钩子,工人们将产品挂在经过 他上方的钩子上带走 当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件产品 的时间不变而他挂产品的时刻却是随机的 衡量这种传送带的效率可以看它能否及时将工人 们生产的产品带走
传送带的效率问题 ▪ 在机械化生产车间,排列整齐的工作台旁工人们紧 张地生产同一种产品,工作台上方一条传送带在运 转,带上设置着若干钩子,工人们将产品挂在经过 他上方的钩子上带走. ▪ 当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件产品 的时间不变,而他挂产品的时刻却是随机的. ▪ 衡量这种传送带的效率可以看它能否及时将工人 们生产的产品带走
显然在工人的数目不变的情况下,传送带速 度越快,带上钩子越多,效率越高 我们要构造一个衡量传送带效率的指标,并 且在一定假设下建立模型来描述此指标与工人 数目、钩子数量等参数的关系
▪ 显然在工人的数目不变的情况下,传送带速 度越快,带上钩子越多,效率越高. ▪ 我们要构造一个衡量传送带效率的指标,并 且在一定假设下建立模型来描述此指标与工人 数目、钩子数量等参数的关系
模型分析 ※为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送带 的效率在工人们生产周期(即生产一件产品的时 间)相同的情况下,需要假设工人们在生产出一件 产品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他 可以产品挂上带走,要么没有空钩子经过迫使他将 产品放下并立即投入下一件产品的生产,以保持整 个系统周期的运转 ※工人们的生产周期虽然相同,但由于各种随机因素 的干扰,经过相当长时间后,他们生产完成一件产 品的时刻就不会一致,可以认为是随机的,并且在 个周期内任一时刻的可能性是一样的
模型分析 ※为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送带 的效率,在工人们生产周期(即生产一件产品的时 间)相同的情况下,需要假设工人们在生产出一件 产品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他 可以产品挂上带走,要么没有空钩子经过迫使他将 产品放下并立即投入下一件产品的生产,以保持整 个系统周期的运转. ※工人们的生产周期虽然相同,但由于各种随机因素 的干扰,经过相当长时间后,他们生产完成一件产 品的时刻就不会一致,可以认为是随机的,并且在 一个周期内任一时刻的可能性是一样的
由上述分析,传送带长期运转的效率等价 于一周期的效率,而一周期的效率可以用 它在一周期内带走的产品数与一周期内 生产的全部产品数之比来描述
由上述分析,传送带长期运转的效率等价 于一周期的效率,而一周期的效率可以用 它在一周期内带走的产品数与一周期内 生产的全部产品数之比来描述
模型偎设 a)有n个工人,他们的生产是相互独立的,生产周期 是常数,n个工作台均匀排列 b)生产已进入稳态,即每个工人生产出一件产品的 时刻在一周期内是等可能的 )在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方,钩 子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是 空的 d)每个工人在任何时刻都能触到一只钩子,也只能 触到一只钩子,于是在他生产出一件产品的瞬间 如果他能触到的那只钩子是空的,则可将产品挂 上带走;如果那只钩子非空,则他只能将这件产 品放在地上而产品一旦放在地上,就永远退出这 个传送系统
模型假设 a) 有n个工人,他们的生产是相互独立的,生产周期 是常数, n个工作台均匀排列. b) 生产已进入稳态,即每个工人生产出一件产品的 时刻在一周期内是等可能的. c) 在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方,钩 子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是 空的. d) 每个工人在任何时刻都能触到一只钩子,也只能 触到一只钩子,于是在他生产出一件产品的瞬间, 如果他能触到的那只钩子是空的,则可将产品挂 上带走; 如果那只钩子非空,则他只能将这件产 品放在地上.而产品一旦放在地上,就永远退出这 个传送系统
模型建立 将传送带效率定义为一周期内带走的产品数 与生产的全部产品数之比记为D 设带走的产品数为s,生产的全部产品数显然 为n,于是D=sn,这里只需求出s就可以了 如果从工人的角度考虑,分析每个工人能将自己的 产品挂上钩子的概率,那么这个概率显然与工人所 在的位置有关,这样就使稳态复杂化 我们从钩子的角度考虑在稳态下钩子没有次序,处 于同等地位若能对一周期内的m只钩子求出每只 钩子非空的概率p,则s=m
模型建立 将传送带效率定义为一周期内带走的产品数 与生产的全部产品数之比,记为D. 设带走的产品数为s,生产的全部产品数显然 为n,于是D=s/n .这里只需求出s就可以了. 如果从工人的角度考虑,分析每个工人能将自己的 产品挂上钩子的概率,那么这个概率显然与工人所 在的位置有关,这样就使稳态复杂化. 我们从钩子的角度考虑,在稳态下钩子没有次序,处 于同等地位.若能对一周期内的m只钩子求出每只 钩子非空的概率p, 则s=mp
4得到p的步骤如下:(均对一周期内而言) o任一只钩子被任一名指定的工人挂上产品的概率是 1/m o任一只钩子不被任一名指定的工人挂上产品的概率 是1-1/m; o由工人生产的独立性,任一只钩子不被所有n个工人 挂上产品的概率,即任一只钩子为空钩的概率 是(1-1/m); o任一只钩子非空的概率是p=1-(1-1/my
得到p的步骤如下: (均对一周期内而言) o 任一只钩子被任一名指定的工人挂上产品的概率是 1/m ; o 任一只钩子不被任一名指定的工人挂上产品的概率 是 1-1/m ; o 由工人生产的独立性,任一只钩子不被所有n个工人 挂上产品的概率,即任一只钩子为空钩的概率 是 ; o 任一只钩子非空的概率是 . ( ) n 1− 1/ m ( ) n p = 1− 1− 1/ m
这样传送带的效率指标为 D="=m 为了得到比较满意的结果,在钩子数m相对于工人数n较大, 即n/m较小时,将多项式(1-1/m)"展开后取前三项,则有 t n n D …(2) 2m 2m 如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比 记为E,再假设n>>1,则 D=l-E, E (3) 2m
这样传送带的效率指标为: ... (1) 1 1 1 = = − − n n m m n mp D ... (2) 2 1 1 2 ( 1) 1 1 / , (1 1/ ) , , , 2 m n m n n m n n m D n m m m n n − = − − − − + 即 较小时 将多项式 − 展开后取前三项 则有 为了得到比较满意的结果 在钩子数 相对于工人数 较大 ... (3) 2m n D 1 - E, E , n 1, = 记为 再假设 则 如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比 E
当n=10,m=40时,3式的结果为D=875%, (1)式的精确结果为D=89.4% 结果分析 这个模型是在理想情况下得到的,它的一些假设如生 产周期不变挂不上钩子的产品退出传送系统等可能 是不现实的但模型的意义在于,一方面利用基本合理 的假设将问题简化到能够建模的程度,并用很简单的 方法得到结果;另一方面所得的简化结果3)式具有非 常简明的意义:指标E=1-D(可理解为相反意义的“效 率”)与n成正比,与m成反比通常工人数m是固定的, 周期内通过的钩子数m增加1倍,可使“效率”E(未 被带走的产品数与全部产品数之比)降低1倍
当n=10,m=40时,(3)式的结果为D=87.5%, (1)式的精确结果为D=89.4%. 结果分析: 这个模型是在理想情况下得到的,它的一些假设,如生 产周期不变,挂不上钩子的产品退出传送系统等可能 是不现实的,但模型的意义在于,一方面利用基本合理 的假设将问题简化到能够建模的程度,并用很简单的 方法得到结果;另一方面所得的简化结果(3)式具有非 常简明的意义:指标E=1-D(可理解为相反意义的“效 率”)与n成正比,与m成反比.通常工人数n是固定的, 一周期内通过的钩子数m增加1倍,可使“效率”E(未 被带走的产品数与全部产品数之比)降低1倍
