排队论模型 我们经常会碰到排队现象如排队买火车票排 队吃饭;打的时也要排队;打电话时事实上也 会遇到排队现象,特别是高峰时;存在多个终端 共用一个分时系统时每个想用主机的终端也 得排队,等等 特点以电话总机为例)呼叫发生的时刻,每次 通话延续的时间,段时间内要求提供的线路 数量以及被延误的通话数都具有随机性
排队论模型 我们经常会碰到排队现象,如排队买火车票,排 队吃饭; 打的时也要排队;打电话时事实上也 会遇到排队现象,特别是高峰时;存在多个终端 共用一个分时系统时,每个想用主机的终端也 得排队,等等. 特点(以电话总机为例):呼叫发生的时刻,每次 通话延续的时间,一段时间内要求提供的线路 数量以及被延误的通话数都具有随机性
②排队论中把所要服务的对象都称为顾客顾客 要求使用某类设备或者取得某种服务所涉及 的每件设备或每个提供服务者都称为服务员 个排队系统的工作方式大致为当一个顾客 来到时若其所需的服务员有空则立刻服务 并延续适当时间当此次服务完成之后这个 服务员或者休息等待新的顾客到来或者为已 经等待在此的顾客服务站在顾客的立场若 他发现没有服务员空闲时他或猪者加入等待的 队列者立刻离开 对于一个特定的问题我们应该具体研究 般要确切知道以下几个方面内容
排队论中把所要服务的对象都称为顾客;顾客 要求使用某类设备或者取得某种服务,所涉及 的每件设备或每个提供服务者,都称为服务员. 一个排队系统的工作方式大致为:当一个顾客 来到时,若其所需的服务员有空,则立刻服务 并延续适当时间.当此次服务完成之后,这个 服务员或者休息等待新的顾客到来,或者为已 经等待在此的顾客服务.站在顾客的立场,若 他发现没有服务员空闲时,他或者加入等待的 队列,或者立刻离开. 对于一个特定的问题,我们应该具体研究, 一 般要确切知道以下几个方面内容
1.访间总体它指所以可能的潜在顾客全体 对有大量潜在顾客的系统中(如公共交通银 行我们可认为总体个数无限但对只有N台 机床的工厂,当考虑设备的维修问题时等待 维修的机床数有限 2输入过程或称顾客到达过程它指顾客进入 系统的规律弄清楚其概率分布 3服务机制它指服务员的数量、服务方式以 及服务所需的时间 4排队规则它指当一名顾客不能立刻被服务 时所采取的行动如立刻离开排队等待,此时 还有队列长度是多少
1.访问总体.它指所以可能的潜在顾客全体. 对有大量潜在顾客的系统中(如公共交通,银 行),我们可认为总体个数无限;但对只有N台 机床的工厂,当考虑设备的维修问题时,等待 维修的机床数有限. 2.输入过程或称顾客到达过程.它指顾客进入 系统的规律.弄清楚其概率分布. 3.服务机制.它指服务员的数量、服务方式以 及服务所需的时间. 4.排队规则.它指当一名顾客不能立刻被服务 时所采取的行动.如立刻离开,排队等待,此时 还有队列长度是多少
电话总机的设置问题 呼叫发生与通话时间的概率描述 令N(为时间阳0,t内总机收到的通话要求次数模 型假设: 1在互不重叠的时间间隔内总机收到的呼叫次 数是相互独立的随机变量. 2以P(△)=P(N(+△)-N()=1)2=0,1,2,…表示 在[,t+△)间隔内呼叫次数为的事件的概率假设 这一概率仅与时间间隔有关与时间的起点无关
电话总机的设置问题 一 .呼叫发生与通话时间的概率描述 令N(t)为时间[0,t)内总机收到的通话要求次数.模 型假设: 1.在互不重叠的时间间隔内,总机收到的呼叫次 数是相互独立的随机变量. , . [ , ) , , 2. ( ) ( ( ) ( ) ), 0,1,2, 这一概率仅与时间间隔 有 关与时间的起点无 关 在 间隔内呼叫次数为的事件的概率假 设 以 表 示 t t t t t i P t P N t t N t i i i i + = + − = =
23假设存在常数>0,有 P(△) △t→>0△t 1-P0(△t)-P(△) △t→>0 △t 其含义是:在长为△的间隔内恰好发生一次呼 叫的概率为△t+O(△,发生两次或两次以上白 呼叫的概率是(△)瞬间发生呼叫的概率爆 推导:由在间隔长度为+△的时段内没有呼 假设1,2叫等价于两个子阶段觳有呼叫 得 10(t+△)=P0()P0(△)
( ). . ( ), , 0 1 ( ) ( ) lim , ( ) lim 3. 0, 0 1 0 1 0 呼叫的概率是 瞬间发生呼叫的概率为零 叫的概率为 发生两次或两次以上的 其含义是 在长为 的间隔内恰好发生一次呼 假设存在常数 有 o t t o t t t P t P t t P t t t + = − − = → → : (2) (1) 推导:由 假设1,2 得 ( ) ( ) ( ), : 0 0 0 P t t P t P t t t + = + 叫等价于两个子阶段都没有呼叫 在间隔长度为 的时段内没有呼
P(t+△)=∑Pk(t)P(△),i=1,2 k=0 于是 (+△)-P0(1)1-P0(△t () △t △t P(△t (t)+0(1)=-P0(t)+0(1) P(t+△t)-P(t) P(t)+AP-1()+0(1 得到 dPo(t) =-AP0( 0(0)=1, dP=-P()+P=1()P(0)=0.2=12
( ) ( ) ( ), 1,2, . 0 + = = = − P t t P t P t i i k i i k k 于是 ( ) (1) ( ) (1). ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 P t o P t o t P t P t t P t t P t t P t + = − + = − − = − + − ( ) ( ) (1). ( ) ( ) P t P 1 t o t P t t P t i i i i = − + + + − − 得到 ( ) ( ) (0) 0, 1,2, . ( ) ( ), (0) 1, ( ) 1 0 0 0 = − + = = = − = − P t P t P i dt dP t P t P dt dP t i i i i
③解上面的微分方程组得到 P(t=e,p(t= ()-x i=1.2 我们称呼叫次数{N(t):>=0}所满足的这个规律 为泊松( (Poisson)过程我们知道, 均值E(N(t)=t,方差D(N(t)=A 下面我们给出相邻呼叫的时间间隔的分布由假 设任何连续两次呼叫的时间间隔是独立同分布 的随机变量以T表示则 P(T>1)=P在0,的呼叫次数为零=P()=e
解上面的微分方程组得到 , 1,2, . ! ( ) ( ) , ( ) 0 = − = e − i = i t P t e P t t i i t 我们称呼叫次数{N(t):t>=0}所满足的这个规律 为泊松(Poisson)过程.我们知道, 均 值E(N(t)) = t,方 差D(N(t)) = t. 下面我们给出相邻呼叫的时间间隔的分布.由假 设,任何连续两次呼叫的时间间隔是独立同分布 的随机变量.以T表示,则 ( ) { [0, ) } ( ) . 0 t P T t P t P t e − = 在 内的呼叫次数为零= =
巴于是得到时间间隔T的分布函数为 e t≥0 F(t)=P(T≤1)= t0 均值E(7)=,方差D人 上面说明,连续两次的时间间隔服从指数分布 同样一次通话的延续时间ξ也服从指数分布设 其参数为μ
于是得到时间间隔T的分布函数为 − = = − 0, 0. 1 , 0, ( ) ( ) t e t F t P T t t ( ) = , 0. − f t e t t 分布密度函数为 . 1 , ( ) 1 ( ) 2 均 值E T = 方 差D T = 上面说明,连续两次的时间间隔服从指数分布. 同样,一次通话的延续时间ξ也服从指数分布,设 其参数为μ
lim P(≤t+△|>1 P(t1)△t 其含义是:在[t1△1)的间隔内一次通话结概率 为t+o(△,这一概率与通话已经延的时间无关 由于指数分布具有无后效性,因此马氏链有密 切关系
. ( ) ( ) lim ( | ) lim 0 0 = + = + → → P t t P t t t t P t t t t t ( ), . [ , ) 为 这一概率与通话已经延续的时间无 关 其含义是 在 的间隔内一次通话结束的概率 t o t t t t t + + : 由于指数分布具有无后效性,因此马氏链有密 切关系
二埃尔朗( Erlang消失制系统 本节讨论当全部线路均被占用再来的通话要求 自动放弃的情形,这种规则称为消失制采用这种 规则的系统称为 Erlang消失制系统 假定系统有s条线路当有条被占用时称系统处 于状态E=0,4,…,以P表示时刻系统处于 状态E的概率记被占用的线路条数为m(,则 P(t)=P(n()=j), P(n(t+h)=j =∑P(n(+h)=jn(t)=)P(n()=i),(3) =0
二.埃尔朗(Erlang)消失制系统 本节讨论当全部线路均被占用,再来的通话要求 自动放弃的情形,这种规则称为消失制.采用这种 规则的系统称为Erlang消失制系统. 假定系统有s条线路,当有j条被占用时,称系统处 于状态Ej (j=0,1,…,s).以Pj (t)表示时刻t系统处于 状态Ej的概率.记被占用的线路条数为n(t),则 P (t) P(n(t) j), j = = ( ( ) | ( ) ) ( ( ) ), (3) ( ( ) ) 0 = = + = = = + = s i P n t h j n t i P n t i P n t h j