等级结构模型
等级结构模型
背景 在社会系统中常常按照人们的职务或者 地位划分为许多等级,如在我们大学,教师一 般分为教授、副教授、讲师和助教,又如学生 身份的人分为研究生、大学生、中学生和小 学生,在其他系统内也都有相应的级别分类 不同等级的人员比例形成一个等级结构.一个 合适的、稳定的等级结构有利于各方面工作 的顺利进行本节我们就来建立一个模型来描 述等级结构的变化,根据已知条件和当前的结 构来预报未来结构,并为寻求某个理想的等级 结构提供相应的策略
一 .背景 在社会系统中常常按照人们的职务或者 地位划分为许多等级，如在我们大学, 教师一 般分为教授、副教授、讲师和助教 ,又如学生 身份的人分为研究生、大学生、中学生和小 学生 , 在其他系统内也都有相应的级别分类 . 不同等级的人员比例形成一个等级结构. 一个 合适的、稳定的等级结构有利于各方面工作 的顺利进行 .本节我们就来建立一个模型来描 述等级结构的变化 , 根据已知条件和当前的结 构来预报未来结构 , 并为寻求某个理想的等级 结构提供相应的策略
引起等级变化的因素有两种:一是系 统内部等级间的转移,即提升或者降级 二是系统内外的交流即人员的调入或退出 (调离,退休,死亡) 系统内的各个等级的人员每个时期按 照一定的比例变化本是一个确定性的转移 问题,但是当我们把这种比例视为各等级的 每个成员提升、降级或退出的概率,我们 就能够应用概率论和随机过程(特别马氏 过程)中的一些理论和方法当然这时各 等级的数量应理解为平均值
引起等级变化的因素有两种 : 一是系 统内部等级间的转移 , 即提升或者降级 ; 二是系统内外的交流,即人员的调入或退出 (调离 , 退休 , 死亡) . 系统内的各个等级的人员每个时期按 照一定的比例变化,本是一个确定性的转移 问题,但是当我们把这种比例视为各等级的 每个成员提升、降级或退出的概率，我们 就能够应用概率论和随机过程（特别马氏 过程）中的一些理论和方法 . 当然这时各 等级的数量应理解为平均值
基本量与基本方程 设一个社会系统由低到高分为k个等级将时间 以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次 调级引入记号 成员按等级的分布向量(t)=(n1(t,n2(t),…,nk() 其中n()为时刻等级的人数N()=∑n1(t)为总人数 成员按等级的比例分布()=(a1(t),a2(t),…,a() n2(O) 其中aM(l)也称为是等级结构 转移矩陶Q=(p),其中为每年从等级转移 至等级的占冲中比例
二.基本量与基本方程 设一个社会系统由低到高分为k个等级,将时间 以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次 调级.引入记号: , ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )), 1 2 其 中 也称为是等级结构 成员按等级的比例分布 t N t n t a t t a t a t a t i i k a a = = ( ) , ( ) ( ) . ( ) ( ( ), ( ), , ( )), 1 2 其 中 为 时刻等级的人数 为总人数 成员按等级的分布向量 = = i i i k n t t i N t n t n t n t n t n t ( ) . ( ), 至等级的占 中比 例 转移矩阵 其 中 为每年从等级转 移 j i p p i Q = ij ij
退出比例向量v=(1…,w),其中为每年从等级 退出的成员占中例年退出系统的总人数为 W(t)=∑n1=n()w(t) 显然Pn,w≥0,且∑P+w=1(2) 调入比例向量如=(r…,),其中为每年调入等级 的成员占总对调入人数能例年调入总人数为(t) 推导等级结构的基本方程 总数:N(+1)=N()+R(t)-W(t) (3) 转移方程n/(+1)=∑mnn()+rR(t)(4)
(1) T i i i k i W t w n t t i t w w w i ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ), 1 n w w = = = 退出的成员占 中比 例 年退出系统的总人数为 退出比例向量 其 中 为每年从等级 , , 0, + =1 (2) i j 显 然 pij wi 且 pij w 推导等级结构的基本方程 总 数: N(t +1) = N(t) + R(t) −W (t) (3) : n (t 1) p n (t) r R(t) (4) j i 转移方程 j + = ij i + ( ) . ( ). ( , , ), 1 t R t r r r i k i 的成员占总对调入人数的比 例 年调入总人数为 调入比例向量如r = 其 中 为每年调入等级
即:n(+1)=m()Q+R(t)r 记M(为从倒+1年系统总人数的增长量,则 R(t=w(t)+M(t=n(t)w+M(t) 于是m(+1)=m(t)(Q+vr)+M(t)r(6) =:n(t)p+M(tr 其中P=Q+1r,是一个行和为的随机矩阵 (7)式或(5式就是等级结构的基本方程 特例1:当M()=N)时(7)式可变为 a(t+1)=(1+B)-a(t)P+r]
即: n(t +1) = n(t)Q + R(t)r (5) 记M(t)为从t到t+1年系统总人数的增长量,则 R(t) W(t) M(t) (t)w M(t) T = + = n + , 1 . ( ) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) 其 中 是一个行和为的随机矩阵 于 是 P Q r n P r n n Q r r T T w t M t t t w M t = + = + + = + + : (7) (6) (7)式或(5)式就是等级结构的基本方程. 特例1:当M(t)=βN(t)时,(7)式可变为 ( 1) (1 ) [ ( ) ] 1 a + = + a P + r − t t
特例2:M(=0.(7)式可变为 (+1)=a()P=a(t)(Q+wr) (8) 三用调入比例进行稳定控制 我们的中心问题是通过对调入比例r的调节尽 快达到或者接近给定的理想等级结构a对3已 经达到@时就要通过对调入比例的调节使得 等级结构比例保持在a 我们以8)为例来进行研究由于并不是任何一个 等级结构都可以用调入比例控制不变的自然的 问题是给定了内部转移矩阵Q(从而w也知道确 定哪些等级结构用合适的调入比例可以保持不 变,称为调入比例对等级结构的稳定控制
三.用调入比例进行稳定控制 特例2: M(t)=0. (7)式可变为 a( 1) a( )P a( )(Q r) (8) T t + = t = t + w 我们的中心问题是:通过对调入比例r的调节,尽 快达到或者接近给定的理想等级结构a*.对于已 经达到a*时,就要通过对调入比例r的调节,使得 等级结构比例保持在a*. 我们以(8)为例来进行研究. 由于并不是任何一个 等级结构都可以用调入比例控制不变的.自然的 问题是:给定了内部转移矩阵Q(从而w也知道),确 定哪些等级结构用合适的调入比例可以保持不 变,称为调入比例对等级结构的稳定控制
由(8)式对于某个a,若存在,使得 a=a(o+wr 称a为稳定结构此时,r 注意到满足r≥0的要求我们得到稳定结构的范围为 ≥ (11) 称为等级结构的稳定 例1设大学教师分为3个等 0.60.20 级初级助教)、中级讲师:2=00.702 高级(正副教授)每年各等级 之间的转移矩阵为 000.9
由(8)式,对于某个a,若存在r,使得 a a(Q r) (9) T = + w 称a为稳定结构.此时, (10) T Q aw a a r − = Q (11) ri a a r a 注意到 满 足 0的要求,我们得到稳定结构的范围为: 称为等级结构的稳定域. 例1 设大学教师分为3个等 级:初级(助教)、中级(讲师)、 高级(正副教授).每年各等级 之间的转移矩阵为 = 0 0 0.9 0 0.7 0.2 0.6 0.2 0 Q
求等级结构a的稳定域 解将Q代入稳定域(1式得到 ≥0.6 a20.2a1wa2≥=a1 a2≥0.2a2+0.9a a3≥2a2 这就是a的稳定域下面我 S3(0,0,1) 们从几何上来表它示 由于∑a1=1,a≥0 B 1/3,2/3) 故我们画出可行集A 稳定城为B求出点 S为(1/3,2/9,4/9) (1,0,0)(0.6,0.4,0)(0,1,0)
求等级结构a的稳定域. 解 将Q代入稳定域(11)式,得到 . 2 3 2 0.2 0.9 0.2 0.7 0.6 3 2 2 1 3 2 3 2 1 2 1 1 + + a a a a a a a a a a a a 即 这就是a的稳定域.下面我 们 从几何上来表它示. =1, 0. 由于 ai ai 故我们画出可行集A. 稳定域为B.求出点 S1为(1/3,2/9,4/9). S3 (0,0,1) (1,0,0) (0.6,0.4,0) (0,1,0) (0,1/3,2/3) A • S1 S2 • • B
稳定域的构造 设对每个,p1<,且Q至少有一行的和小壬则-Q可 逆记M=(-Q)而且mn≥0于是由10试我们得到 a=(aw)rM 由于a=(mw)rM=(an∑rm 其中m为矩阵M的第行由∑a1=1记y=ap,得 1/=(m)=∑Σmn)=∑Σm)=∑ 所以=2rm1=2(41)=∑bs,则∑b=1
稳定域的构造 M (12) M I Q m i p Q I Q T i j i i a (aw )r , ( ) . 0. (1 0) , 1, 1, 1 = = − − 逆 记 − 而 且 于是由 式我们得到 设对每个 且 至少有一行的和小于则 可 1/ ( ) ( ) ( ) : , . 1, , ( ) ( ) , 1 = = = = = = = = − i i i i j i i j j i i i j T T j i j i i i T T r r m r M i a M r aw m m aw a aw r aw m 其 中 为矩阵 的 第 行由 记 得 由 于 = = ( ) =: , =1. i i i i i i i i i i i 所 以 ri i r b s 则 b m a m