风险决策问题
风险决策问题
1设备的定期维修问题 假设有一批同一类型的机器考虑多长时间对这 批机器进行定期维修的问题如果不进行定期维 修或者定期维修时间过长那么该设备就可能会 经常出现临时损坏为此就要付出较多的应急维 修的代价(包括维修费用以及停工损失等另一方 面如果定期维修进行得太频繁那么维修费也会 相应地大大增加因此选择适当的维修周期,就是 要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某 种均衡,以达到总维修代价最小的目的 例如设每台机器的定期维修费用为c=100元应 急维修的费用是每台c1=1000元设时间单位是年
1.设备的定期维修问题 假设有一批同一类型的机器,考虑多长时间对这 批机器进行定期维修的问题.如果不进行定期维 修,或者定期维修时间过长,那么该设备就可能会 经常出现临时损坏,为此就要付出较多的应急维 修的代价(包括维修费用以及停工损失等).另一方 面,如果定期维修进行得太频繁,那么维修费也会 相应地大大增加.因此,选择适当的维修周期,就是 要使得定期维修的费用和应急维修的费用取得某 种均衡,以达到总维修代价最小的目的. 例如:设每台机器的定期维修费用为c0=100元,应 急维修的费用是每台c1=1000元.设时间单位是年
假定我们已知定期维修后一台机器于第年 发生临时损坏的的概率为p P1=0.05,D2=0.07,P3=0.10, P4=0.13,D5=0.18, 又已知这批机器的总数为50如何安排症期维修? 以D表示以下决策以k年为周期进行定 期维修现限定k<=5这样我们就有5个可供选择 的决策作出决策D后,在一个周期内的第年发 生临时损坏的机器数n将是一个随机变量 〔=1,2,,l),从而一个期内的总维修表以及年 平均维修费用都将是随机变量
p1 =0.05, p2 =0.07, p3 =0.10, p4 =0.13, p5 =0.18, 又已知这批机器的总数为50.如何安排定期维修? 以Dk表示以下决策:以k(年)为周期进行定 期维修.现限定k<=5.这样我们就有5个可供选择 的决策.作出决策Dk后,在一个周期内的第j年发 生临时损坏的机器数nj将是一个随机变量 (j=1,2,…,k),从而一个周期内的总维修费以及年 平均维修费用fk都将是随机变量, 假定我们已知定期维修后一台机器于第k年 发生临时损坏的的概率为pk
C0n+C1(n1+n,+∴+n f k 与该问题中的决策有关所发生的状态具有不 确定性,从而这种情形下的决策称为风险决策. 我们通常用期望值来衡量本例: nB(n,p),E(n=np ECL Cn+cn(+P2+…+pk) (2)
与该问题中的决策有关所发生的状态具有不 确定性,从而这种情形下的决策称为风险决策. 我们通常用期望值来衡量.本例: ~ ( , ), ( ) . ni B n pi E ni = npi (2) k c n c n p p p E f k k ( ) ( ) 0 + 1 1 + 2 + + = (1) k c n c n n n f k k ( ) 0 + 1 1 + 2 + + =
因此我们可以算出E(f)=7500 E(2)=5500,E(3)=5333 E(4)=5625,E(5)=6300 从中我们可以看出决策D3使得维修费的排 望值最小因此我们取k=3即以三年为周期 进行定期维修 P1=0.05,P2=0.07,P3=0.10, P4=0.13,D5=0.18,c=100,c1=1000 E(f)= Cn+cn(1+p2+…+pk)
从中我们可以看出,决策D3使得维修费的期 望值最小.因此我们取k=3.即以三年为周期 进行定期维修. ( ) 5625, ( ) 6300. ( ) 5500, ( ) 5333, : ( ) 7500, 4 5 2 3 1 = = = = = E f E f E f E f 因此我们可以算出E f p1 =0.05, p2 =0.07, p3 =0.10, p4 =0.13, p5 =0.18, c0=100, c1=1000 (2) k c n c n p p p E f k k ( ) ( ) 0 + 1 1 + 2 + + =
2风险决策的矩阵形式 在风险决策中决策者要面对多个可能发生的 状态或者称作事件)0,O2,…,O决策者所能 采取的决策也有若干个,记为a1a2 9r 即 使存在无穷个决策可供选择时也应该尽可能 简化为有限个为了进行定量分析需要针对每 个决策及每个状态计算一个收益或者象(1)式 那样得到一个解析表达式相应于决策a1与状 态0的收益记为v这样我们得到的m行列的 矩阵就称为该风险决策的收益矩阵
2.风险决策的矩阵形式 在风险决策中,决策者要面对多个可能发生的 状态(或者称作事件)θ1 , θ2 , …,θn ,决策者所能 采取的决策也有若干个,记为a1 , a2 , … , am.即 使存在无穷个决策可供选择时,也应该尽可能 简化为有限个.为了进行定量分析,需要针对每 个决策及每个状态计算一个收益,或者象(1)式 那样得到一个解析表达式.相应于决策ai 与状 态θj的收益记为vij ,这样我们得到的m行n列的 矩阵就称为该风险决策的收益矩阵 ( ). ij v
我们还要估计出每个状态0的概率P(O);于 是相应于决策4的期里收益就是 ∑vp 最常用的准则是最大期望收益准则,即选择决策 a使得 ∑v= maxie}.(3)
我们还要估计出每个状态θj的概率P(θj )=pj ,于 是相应于决策ai的期望收益就是 = n j ij j v p 1 . 最常用的准则是最大期望收益准则,即选择决策 ak使得 (3) = = = n j ij j n j i vk j pj v p 1 1 max{ }
同样地记相应于决策a与状态0的代价记为 w;这样我们得到的m行m列的矩阵就称为该 风险决策的代价矩阵那么我们常用的另 准则就是最小期望代价准则即选择决策ak 使得 WkPi=min (4)
同样地,记相应于决策ai 与状态θj的代价记为 wij ,这样我们得到的m行n列的矩阵就称为该 风险决策的代价矩阵.那么我们常用的另一 准则就是最小期望代价准则.即选择决策ak 使得 (4) = = = n j ij j n j i wk j pj w p 1 1 min{ }
例1商店经理订购用于夏季销售的网球衫 假定这种网球衫的订购数量必须是100的整数 倍订购价为100件时,20元件;200件时,18元 件;>=300件时,17元/件销售价为26元件如果 在夏季结束时剩下的网球衫则按每件14元处 理为简单起见他将需求量分为三种情形: 100,150,20而且他认为这三个事件的概率分 别为05,03,02同时,他考虑对每个希望买网 球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损 失费”1元问他应该为订购这种网球衫如何 决策呢?
例1 商店经理订购用于夏季销售的网球衫. 假定这种网球衫的订购数量必须是100的整数 倍.订购价为:100件时,20元/件; 200件时, 18元/ 件; >=300件时,17元/件.销售价为26元/件.如果 在夏季结束时剩下的网球衫则按每件14元处 理.为简单起见,他将需求量分为三种情形: 100,150,200,而且,他认为这三个事件的概率分 别为0.5,0.3,0.2.同时,他考虑,对每个希望买网 球衫而买不到的情形,应等价于付出“愿望损 失费”1元.问他应该为订购这种网球衫如何 决策呢?
解:将事件记为01,O2093分别相应于需求量为 100,150,200的情形采取的决策记为a12a2,a3, 本别表示订购100,200300的情形则 p1=0.5,n2=0.3,D3=0.2. v,=6×100-50×1=550 「6005505001 期望收益分 V=40010001600 别为 3009001500 E(a1)=565,E(a2)=820,E(a13)=720
解:将事件记为θ1 , θ2 ,θ3 ,分别相应于需求量为 100,150,200的情形.采取的决策记为a1 , a2 ,a3 , 本别表示订购100,200,300的情形.则 0.5, 0.3, 0.2. p1 = p2 = p3 = = 300 900 1500 400 1000 1600 600 550 500 V v1 2 = 6100− 501= 550 期望收益分 别为 ( ) 565, E a1 = ( ) 820, E a2 = ( ) 720. E a3 =
