存贮模型 工厂定期定购原料存入仓库供生产之用;车间一次加工出 来一批零件供装配线每天生产之需商店成批购进各种商 品,放入货柜以备零售;水库在雨季蓄水用于旱季和发电这 些情况下都会遇到一个存贮量多少的问题显然存贮量过 大,则存贮费用高;存贮量太小会导致一次性定购费用增加 或者不能及时满足需求下面我们建立模型来研究这类问 题 命客平音
存贮模型 工厂定期定购原料,存入仓库供生产之用;车间一次加工出 来一批零件,供装配线每天生产之需;商店成批购进各种商 品,放入货柜以备零售;水库在雨季蓄水,用于旱季和发电.这 些情况下都会遇到一个存贮量多少的问题.显然,存贮量过 大,则存贮费用高;存贮量太小,会导致一次性定购费用增加 或者不能及时满足需求.下面我们建立模型来研究这类问 题
不允许缺货的存贮模型 当缺货时会导致重大损失时(如炼钢厂对原料的需求生 产线对部件的需求就会遇到这种模型 问题:配件厂装配线生产着干部件轮换生产不同的部件时 因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关,同一部件的产 量大于需求时积压资金、占有仓库要付贮存费.今已知某 部件的日需求量100件,生产准备费5000元贮存费每日每件1 元如果生产能力远大于需求并且不允许缺货 问如何安排生产计划即多少天生产一次(称为生产周期),每 次生产多少可使总费用最小 问题分析如果生产周期短、产量少,则贮存费小但是准备费 大;反之如果生产周期长、产量大则准备费少但是贮存费 会增大所以必然会有某个适当的生产周期,可使得总费用最 命客平音
一 .不允许缺货的存贮模型 当缺货时会导致重大损失时(如:炼钢厂对原料的需求,生 产线对部件的需求)就会遇到这种模型. 问题:配件厂装配线生产若干部件,轮换生产不同的部件时 因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关),同一部件的产 量大于需求时积压资金、占有仓库要付贮存费.今已知某一 部件的日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1 元.如果生产能力远大于需求,并且不允许缺货. 问如何安排生产计划,即多少天生产一次(称为生产周期),每 次生产多少,可使总费用最小. 问题分析:如果生产周期短、产量少,则贮存费小,但是准备费 大;反之,如果生产周期长、产量大,则准备费少,但是贮存费 会增大.所以必然会有某个适当的生产周期,可使得总费用最 小
ca模型假设:为方便处理我们考虑连续模型设生产周期 为T产量为Q均为连续变量且 1.产品每天的需求量为常数r; 2.每次生产准备费为c,每天每件产品贮存费c2; 3.生产能力为无限大(相对于需求量),当贮存量下降到零 时,Q件产品立即生产出来供给需求即不允许缺货 模型建立将贮存量表示为时间的函数q(2贮量q(0)=Q, q(以需求速率r递减直到q(T)=0于是有Q=rT 一个周期内的存贮费为 2.g()dr=cr212 Q 于是一个周期内的总翻为 C=c +crt2/2 2T 命客平音
模型假设: 为方便处理,我们考虑连续模型.设生产周期 为T,产量为Q,均为连续变量.且 1. 产品每天的需求量为常数r; 2. 每次生产准备费为c1 ,每天每件产品贮存费c2 ; 3. 生产能力为无限大(相对于需求量),当贮存量下降到零 时,Q件产品立即生产出来供给需求,即不允许缺货. 模型建立 将贮存量表示为时间t的函数q(t),贮存量q(0)=Q, q(t)以需求速率r递减,直到q(T)=0,于是有 Q=rT (1) T 2T Q q t 一个周期内的存贮费为 ( ) / 2 2 2 0 2 c q t dt c rT T = / 2. 2 1 2 C = c + c rT 于是一个周期内的总费用 为
从而每天的平均费用为 C(T)=C/T+CrT/2 (2)式就是我们这个优化模型的目标函数求最小费用 模型求解容易求得当7=2 时C(T)最小此时_2cr C=、2ccr 这就是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ公式 结果解释 命客平音
( ) / / 2. (2) 1 2 C T = c T + c rT 从而每天的平均费用为 (2)式就是我们这个(优化)模型的目标函数,求最小费用. 模型求解 容易求得,当 c r c T 2 2 1 = 时,C(T)最小,此时 C c c r c c r Q 1 2 2 1 , 2 2 = = 这就是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ公式). 结果解释
二允许缺货的存贮模型 在许多情况下用户允许短时间的缺货虽然这会造成一定的损 失,但是如果损失费不超过准备费和存贮费的话还是可行的下 面我们考虑一种简单的情形 模型假设假设1,2同上将假设3改为 3a生产能力为无限大(相对于需求量允许缺货每天每件产品 缺货损失费为c3,但缺货数量在下次生产(或订货)时补足 模型建立因贮存量不足造成缺货时,可以认为此时贮存量 函数q(t)为负值如图这样 在仁=T时数量为R的产品立即 到达从而使得下周期初的贮 存量还是Q因此 =c1+c2r/2+c3(T-T1)2/2 命客平音
二.允许缺货的存贮模型 在许多情况下用户允许短时间的缺货,虽然这会造成一定的损 失,但是如果损失费不超过准备费和存贮费的话,还是可行的.下 面我们考虑一种简单的情形. 模型假设 假设1,2同上,将假设3改为 3a.生产能力为无限大(相对于需求量),允许缺货,每天每件产品 缺货损失费为c3 ,但缺货数量在下次生产(或订货)时补足. 模型建立 因贮存量不足造成缺货时,可以认为此时贮存量 函数q(t)为负值,如图.这样 T Q q t R T1 • 1 Q = rT 在t=T时数量为R的产品立即 到达,从而使得下周期初的贮 存量还是Q.因此 / 2 ( ) / 2. 2 3 1 2 C = c1 + c2 rT1 + c r T −T
C=c+c,r72/2+cr(T-T)2/2 每天的平均费用为(为和Q的二元函数消除T) C(T,2)=L+ Q2,c37-0 (3) T arT arT 模型求解容易求得当 c, C.C 2c.r T Q cr c +c 时,平均费用最小注意到每个周期的供货量R=rT,有 2c.r c+c R C +C 记λ 则7”=7,g=Q/,R=2Q.<解释 命客平音
/ 2 ( ) / 2. 2 3 1 2 C = c1 + c2 rT1 + c r T −T 每天的平均费用为(为T和Q的二元函数,消除T1 ) (3) 2 2 ( , ) 2 3 2 1 2 rT c (rT Q) rT c Q T c C T Q − = + + 模型求解 容易求得,当 2 3 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 c c c c r c r Q c c c c r c T + = + = 时,平均费用最小.注意到每个周期的供货量R=rT´,有 3 2 3 2 2 1 c c c c c r R + = 3 2 3 c c + c 记 = 则 T = T,Q = Q / , R = Q. 解释
三随机存贮策略 商店在一周中的销售量是随机的,每逢周末经理要根据存货 的多少是否定货物以供下周销售简单的策略是制订一个下 界和一个上界S当周末存货不少于s时就不订货而当周末 存货少于时则订货且订货量使得下周初的贮存量达到S这 种策略称为(s,S)随机存贮策略 与前面一样我们只考虑费用作为目标函数 模型假设时间以周为单位商品以件为单位 每次订货费为c(与数量无关每件商品购进价为c1,每件商 品一周的贮存费为c2每件商品的缺货损失费为c3c3相当于 售出价故c1<c3 2.一周的销售量r是随机的r的值一般很大故我们视r为连续 变量其密度函数为p(r) 3.记周末的存货量为x,订货量为u,并且立即到货于是下周初 的存货量为x+u即x+u=S 命客平音
三.随机存贮策略 商店在一周中的销售量是随机的,每逢周末经理要根据存货 的多少是否定货物,以供下周销售.简单的策略是制订一个下 界s和一个上界S:当周末存货不少于s时就不订货;而当周末 存货少于s时则订货,且订货量使得下周初的贮存量达到S.这 种策略称为(s,S)随机存贮策略. 1. 每次订货费为c0 (与数量无关),每件商品购进价为c1 ,每件商 品一周的贮存费为c2 ,每件商品的缺货损失费为c3 . c3相当于 售出价,故 c1< c3 . 2. 一周的销售量r是随机的.r的值一般很大,故我们视r为连续 变量,其密度函数为p(r) . 3. 记周末的存货量为x,订货量为u,并且立即到货,于是下周初 的存货量为x+u.即x+u=S. 与前面一样,我们只考虑费用作为目标函数. 模型假设 时间以周为单位,商品以件为单位
34-周的销售是集中在周初进行的即一周的贮存量为x+ur 它不随时间改变这么假设只是为了简化模型可修改 模型建立首先我们当作确定性模型来考察费用我们主 要想刻划清楚存贮费用和存贮不足时的损失,若周末的货物 数目为件(不进货或进货后的数目)下周销售r件,则下周的 存贮费或损失费为 (-r)c,, y>r (y) (r-y)e3,y≤r 事实上,r是随机变量设其密度函数为p(r),故我们以(y)的期望 值来衡量,它表示长期经营中每周费用的平均值, (x)=c(x-r)p(r)dr+cf(r-x)P(r) 按照制订(s,S)策略的要求,当周末存货量x>=s时订货量u=0:而 当x0且x+u=S因此我们就可以得到平均每周的总费用 为 命客平音
模型建立 首先我们当作确定性模型来考察费用,我们主 要想刻划清楚存贮费用和存贮不足时的损失,若周末的货物 数目为y件(不进货或进货后的数目),下周销售r件,则下周的 存贮费或损失费为 4.一周的销售是集中在周初进行的,即一周的贮存量为x+u-r, 它不随时间改变.这么假设只是为了简化模型,可修改. − − = r y c y r y r c y r l y ( ) , ( ) , ( ) 3 2 事实上,r是随机变量,设其密度函数为p(r) ,故我们以l(y)的期望 值来衡量,它表示长期经营中每周费用的平均值, = − + − x x L(x) c (x r) p(r)dr c (r x) p(r)dr 3 0 2 按照制订(s,S)策略的要求,当周末存货量x>=s时,订货量u=0;而 当x0且x+u=S.因此我们就可以得到平均每周的总费用 为
Co+Cu+l(x+u), u>o J() 5 X L=0 这就是我们的目标函数其中L(x)上面已经表示过 模型求解先在u>0的情形下求J(u)的最小值从而确定S由于 du = c, +c o p(r)dr-c,+ p(dr 令=0,并记x+=S注意到p()b=1得 p(rdr c ∫p(r)hc2+c 注意到,2=(c2+c3)p(x+)>0,故/(a)的图形在>0上 为凹的从而在驻点+l=S处/(u)取得最小值 命客平音
(5) = + + + = ( ), 0 ( ), 0 ( ) 0 1 L x u c c u L x u u J u 这就是我们的目标函数,其中L(x)上面已经表示过. 模型求解 先在u>0的情形下求 J(u)的最小值,从而确定S.由于 + + = + − x u x u c c p r dr c p r dr du dJ ( ) ( ) 3 0 1 2 (6) 2 1 0 3 1 0 ( ) ( ) 0, . ( ) 1, c c c c p r dr p r dr x u S p r dr du dJ S S + − = = + = = 令 并 记 注意到 得 . ( ) . ( 2 3 ) ( ) 0, ( ) 0 2 2 为凹的从而在驻点 处 取得最小值 注意到 故 的图形在 上 x u S J u c c p x u J u u d u d J + = = + +
3下面我们讨论确定的方法当存货量为时若订货则在策 略下的平均费用为 J=C +C(s-x)+L(S) 若不订货则平均费用为2=L(x) 因此不订货兮J2≤J兮L(x)≤c+c1(S-x)+L(S) 记(x)=cx+L(x)则不订货的条件为 (x)≤co+/(S) 由于y>0时,(的圈形可由y)1 的图形平移得到,因此函数的 图形也是凹的我们可以用图 I(S) 解法来求解不等式(7其解为(S) x≥s,其中s满足下式的唯一根 /(s)=C+/(S),S<S.(8) 命客平音
下面我们讨论确定s的方法.当存货量为x时,若订货,则在S策 略下的平均费用为 ( ) ( ) J1 = c0 + c1 S − x + L S ( ) ( ) ( ). , ( ). 2 1 0 1 2 J J L x c c S x L S J L x + − + = 因此不订货 若不订货则平均费用为 ( ) ( ). (7) ( ) ( ). 0 1 I x c I S I x c x L x + 记 = + 则不订货的条件为 由于y>0时,I(y)的图形可由J(y) 的图形平移得到,因此函数I的 图形也是凹的,我们可以用图 解法来求解不等式(7).其解为 I(x) s S x I(s) I(S) 0 c (8) O s ( ) ( ), . , : I s c0 I S s S x s = + 其 中 满足下式的唯一根