轧钢中的浪费
轧钢中的浪费
1背景 ?你见过轧钢吗? 把粗大的钢坯变成合格的钢材(如钢筋钢板通常要经过两 道工序第一道是粗轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧 Q冷轧得到规定长度的钢材,即成品 粗轧的长度是随机的大体上服从正态分布其均值可由轧机 调整方差则由设备的精度决定不能随意调整 如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度则精轧时切除多出 的部分:如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度则整根报废 因此我们应该综合这两种情况使得总的浪费最小 相关问题 (1)确定从家里出发的时间以便不错过火车或飞机; (2)包装机打包时均值的确定问题
1.背景 ? 你见过轧钢吗? 把粗大的钢坯变成合格的钢材(如钢筋,钢板),通常要经过两 道工序,第一道是粗轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧 (冷轧),得到规定长度的钢材,即成品. 粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分布,其均值可由轧机 调整,方差则由设备的精度决定,不能随意调整. 如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度,则精轧时切除多出 的部分;如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度,则整根报废. 因此,我们应该综合这两种情况,使得总的浪费最小. 相关问题 (1) 确定从家里出发的时间,以便不错过火车或飞机; (2) 包装机打包时均值的确定问题
问题重述:已知成品钢材的规定长度和粗轧后钢材长度的 均方差σ试确定粗轧后钢材的长度m使得当轧机调整到m进 行粗轧再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小 问题分析记x为粗轧后钢材的长度则为一随机变量设 x-N(m,o2)(注:m>o时几乎都是>=0,我们这里是近似反映现 实)其概率密度函数为p(x)这里G已知,待定记 P=P(x≥1) 由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成 当>=l时浪费钢材的长度为x- 当x</时浪费钢材的长度为x 这两种事情都有可能发生发生由密度函数的定义可知粗轧 时的长度在区间x+dx内的椰率为px)dx因此二者之和即 总的浪费长度为
问题分析 记 x 为粗轧后钢材的长度,则为一随机变量,设 x~N(m, σ 2 )(注:m>> σ时x几乎都是>=0,我们这里是近似反映现 实),其概率密度函数为p(x).这里σ已知,m待定.记 P = P(x l). 由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成: 当x>=l 时,浪费钢材的长度为x-l; 当x<l 时,浪费钢材的长度为x. 这两种事情都有可能发生发生,由密度函数的定义可知,粗轧 时的长度在区间[x,x+dx]内的概率为p(x)dx,因此,二者之和即 总的浪费长度为 问题重述:已知成品钢材的规定长度l和粗轧后钢材长度的 均方差σ,试确定粗轧后钢材的长度m,使得当轧机调整到m进 行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小
四w=!(x-n(x)dx+x(x)h W=(x-DP(x)dx+l xp(x)dx 利用p(x)x=1xp(x)d=mJp(x)tx=P (1)可化简得 W=m-IP (2)也可由直接的方法得到设想粗轧了N根钢材: W= MN-IPN (3) (2)式就是总浪费量 当然如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话那么浪费的 多少不应该以钢材的平均浪费量为标准而应该以得到成品材 浪费的平均长度来衡量也即将(3)式中的分母改成PN
(1) = − + l l W x l p x dx xp x dx 0 ( ) ( ) ( ) = − + (1) − l l W (x l) p(x)dx xp(x)dx W m lP (2) p x dx xp x dx m p x dx P l = − = = = − − 可化简得 利 用 (1) ( ) 1, ( ) , ( ) , (2)也可由直接的方法得到:设想粗轧了N根钢材: m lP (3) N mN lPN W = − − = (2)式就是总浪费量. 当然,如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话,那么浪费的 多少不应该以钢材的平均浪费量为标准,而应该以得到成品材 浪费的平均长度来衡量,也即将(3)式中的分母改成PN
2建模与求解 平均每根成品材浪费的钢材长度为 UsmN-IPN m PN 由于是常数所以求(4式的最小与只保留第一项时的最小值 点一样即 J(m p(m) (5) 求解为求出概率P进行变量代换以便服从标准正态分 布令 x-m 这里①为标准正态 则p(m)=「p(x) e2d分布的分布函数记 2丌 f-m dy=O( 1+m = b a√2丌
2.建模与求解 平均每根成品材浪费的钢材长度为 l (4) P m PN mN lPN J = − − 1 = 由于l是常数,所以求(4)式的最小与只保留第一项时的最小值 点一样,即 (5) ( ) ( ) P m m J m = 求解 为求出概率P,进行变量代换,以便服从标准正态分 布,令 , x m y − = ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 l m e dy p m p x dx e dx l m y l x m l − + = = = = − − − − 则 , . , l b m a = = 分布的分布函数记 这 里 为标准正态
26式可表示为 ao J(a)= Φ(a-b) 令J(a)=0并记a(y)为标准正态分布的密数有 d(a-b)-a(a-b)=0 记a-b=x,则z>0上式可化为 ①(z)/q(=)=b+z (7)式就是最优解z所满足的方程不能求出的解析解只能 求数值解先从理论上探讨一下 记F(z)=①(=)/(=)-z,则 F q2(=)-q(z)Φ(=) (z)Φ(=) ∠ 由此可知z0)时,F'(z)>0故F(O)=1.253最小
(5)式可表示为 (6) ( ) ( ) a b a J a − = ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) , − − − = = a b a a b J a y 令 并 记 为标准正态分布的密度函 数 有 z z b z (7) a b z z = + − = ( )/ ( ) , 0. 记 则 上式可化为 (7)式就是最优解z*所满足的方程.不能求出z的解析解,只能 求数值解.先从理论上探讨一下. , 0 , ( ) 0; 0 , ( ) 0. (0) 1.253 . . ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ ( ) , 2 2 2 由此可知 时 时 故 最 小 记 则 = − − = − = = − z F z z F z F z z z z z z z F z F z z z z
注意到>1(>,F(-∞)=F(+∞)=+,故(7有两个解 在z>0时只有唯一解 F(z 我们可以用图解法求解 也可以利用标准正态分布的 函数值表来制作简表以方便 查找 Z 040608 1.214 6 F(2)12531380157819202477335747396921 182022242.6283040 F(z)104116.10256041.8970.68123222.37472
0 . 1( ), ( ) ( ) , (7) , 在 时只有唯一解 注意到 故 有两个解 − = + = + z b l F F F(z) z b z 我们可以用图解法求解. 也可以利用标准正态分布的 函数值表来制作简表,以方便 查找. z 0 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 F(z) 1.253 1.380 1.578 1.920 2.477 3.357 4.739 6.921 z 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 4.0 F(z) 10.41 16.10 25.60 41.89 70.68 123.2 222.3 7472
f例()若2m20cm则b1我们发现F.8)=104 F(16)=6921,故若保留到小数点后面一位的话z=18:若 要求更高的精度则作更详细的表.z1*=178,z*=1.781从 而(以z1*=178为例)a*=1.78,m*=236.此时 J1=m/P(z)-=0.4.5 2)若l=60m,0=20cm,则b=30,我们发现F(22)=2560, F(24)=41.89,z*=23x1*=2,27,z2*=2266从而a*=32.27, m-=645此时J1=0.53 1.781.791.80 1.7801.781 F(z)998310.191041 998310.004 222.32262.272266226524 F(z)25603262295830.313002299441.89
z 1.78 1.79 1.80 1.780 1.781 F(z) 9.983 10.19 10.41 9.983 10.004 z 2.2 2.3 2.26 2.27 2.266 2.265 2.4 F(z) 25.60 32.62 29.58 30.31 30.02 29.94 41.89 例 (1)若l=2.0m,σ=20cm,则b=10,我们发现F(1.8)=10.41, F(1.6)=6.921,故若保留到小数点后面一位的话,z*=1.8;若 要求更高的精度,则作更详细的表. z1*=1.78, z2*=1.781.从 而(以z1*=1.78为例)a*=11.78, m*=2.36.此时 J1=m/P(z)-l=0.45. (2)若l=6.0m,σ=20cm,则b=30,我们发现F(2.2)=25.60, F(2.4)=41.89,,z*=2.3; z1*=2.27, z2*=2.266.从而a*=32.27, m*=6.45.此时J1=0.53