华东交通大学：《数学模型》课程教学资源_减肥计划——节食与运动

减肥计划—节食与运动 随着生活水平的提高,人们越来越关心健康。体重就 是一个很重要的指标。 体重指数BM:BM=体重(kg)俜身高(m)2 身高160165170175 我国人:BM>29:肥胖>74798489 BM在24~29之间超重>61656973.5 BMk24(>185)正常>47450535567 超重或者肥胖了怎么办?减肥 但是不能盲目减肥,要适当控制饮食和适当运动

减肥计划——节食与运动 随着生活水平的提高，人们越来越关心健康。体重就 是一个很重要的指标。 体重指数BMI： BMI＝体重（kg）/身高（m）2 身高 160 165 170 175 我国人： BMI>29： 肥胖 >74 79 84 89 BMI在24～29之间 超重 >61 65 69 73.5 BMI18.5） 正常 >47.4 50 53.5 56.7 超重或者肥胖了怎么办？减肥！ 但是不能盲目减肥，要适当控制饮食和适当运动

模型分析 当人们摄入的热量大于代谢和运动消耗的热量时, 多余的热量便会转化成脂肪,从而增重;反之, 便会消耗体内的现有脂肪,从而减轻体重 但是,减肥要以不伤害身体为前提,这可以用摄 入热量不能过少、减少体重不能过快来表示。 下面的减肥计划以周为单位

模型分析 当人们摄入的热量大于代谢和运动消耗的热量时， 多余的热量便会转化成脂肪，从而增重；反之， 便会消耗体内的现有脂肪，从而减轻体重。 但是，减肥要以不伤害身体为前提，这可以用摄 入热量不能过少、减少体重不能过快来表示。 下面的减肥计划以周为单位

模型假设 1体重的增加正比于吸收的热量,平均每8000千 卡的热量增加体重1kg; 2代谢引起的体重减少正比于体重,每周每kg体 重消耗的热量为200~320千卡,因人而异; 3运动引起的体重减少正比于体重,也正比于运 动的时间,且与运动方式有关; 4为了安全起见,每周体重减少不超过1.5kg 每周吸收热量不少于10000千卡

模型假设 1.体重的增加正比于吸收的热量，平均每8000千 卡的热量增加体重1kg; 2.代谢引起的体重减少正比于体重，每周每kg体 重消耗的热量为200～320千卡，因人而异； 3.运动引起的体重减少正比于体重，也正比于运 动的时间，且与运动方式有关； 4.为了安全起见，每周体重减少不超过1.5kg， 每周吸收热量不少于10000千卡

基本模型 记号第k周末体重为w(k)第k周吸收的热量为c(k),热量 转换系数n=1/8000Kkg/kca,代谢消耗系数为b。 不考虑运动时的体重变化基本方程 v(+1)=W(k)+a·c(k+1)-bw(k),(1) k=0.1.2. 考虑运动时的体重变化基本方程 (+1)=w(k)+a:c(+1)-(b+b1)w(k),(2) 这里b1w(k)反映由运动减少的体重,系数b由运动形 式和运动时间决定

基本模型 记号 第k周末体重为w(k),第k周吸收的热量为c(k),热量 转换系数a=1／8000(kg／kcal),代谢消耗系数为b。 不考虑运动时的体重变化基本方程 0,1,2, ( 1) ( ) ( 1) ( ), (1) = + = +  + −  k w k w k a c k b w k 考虑运动时的体重变化基本方程 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), (2) 1 w k + = w k + ac k + − b+b w k 这里b1w(k)反映由运动减少的体重，系数b1由运动形 式和运动时间决定

份减肥计划的制定 减肥客户资料:某男,身高1.7m,体重100kg,每周 吸收热量20000千卡,体重长期基本保持不变 客户属于超肥胖类型。目标:体重减少至75kg并维持 减肥方案:循序渐近的方式 第一阶段:每周减肥1kg,每周吸收的热量逐渐减少 直至达到安全下限(10000干卡) 第二阶段:每周吸收的热量保持不变,减肥至目标体 重(本阶段还可增加运动加速减肥进程) 第三阶段:保持体重不变

一份减肥计划的制定 减肥客户资料：某男，身高1.7m，体重100kg，每周 吸收热量20000千卡，体重长期基本保持不变 客户属于超肥胖类型。目标：体重减少至75kg并维持 减肥方案：循序渐近的方式 第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐渐减少， 直至达到安全下限（10000千卡） 第二阶段：每周吸收的热量保持不变，减肥至目标体 重（本阶段还可增加运动加速减肥进程） 第三阶段：保持体重不变

参数的确定:为了应用公式,需确定b及b1。 将c(Kk+1)=20000W(K+1)=Wk)=100,代入(1)得 20000 b 0.025 8000×100 制订详细减肥计划 第一阶段:不运动每周体重减少1kg,需确定每周 吸收的热量c(k)。由公式(1)得 c(+DNb(k)-10.025(100-k)-1 =12000-200k 1/8000 由c(k)≥10000得k≤10,即第一阶段进行10周。体重减 少至90kg

参数的确定：为了应用公式，需确定b及b1。 将c(k+1)=20000, w(k+1)=w(k)=100,代入（1）得 0.025 8000 100 20000 =  =  = w a c b 制订详细减肥计划 第一阶段：不运动每周体重减少1kg，需确定每周 吸收的热量c(k)。由公式（1）得 k k a bw k c k 12000 200 1/8000 ( ) 1 0.025(100 ) 1 ( 1) = − − − = − + = 由c(k) ≥10000得k≤10,即第一阶段进行10周。体重减 少至90kg

第二阶段:保持每周吸收最少热量不变,减肥至目 标体重,由公式(1)得 W(+1)=(1-b)w(k)+a·cmn,≥10(3) 为了计算此阶段所需时间,将公式(3)递推得 1(k+n)=(1-b)”1(k)+acmn{1+(1-b)+…+(1-b)” (1-b)"[w(k)-umin ]+.cmin b (k+1)=w(k)+a·c(k+1)-bW(k)

第二阶段：保持每周吸收最少热量不变，减肥至目 标体重，由公式（1）得 w(k +1) = w(k) + a c(k +1) −bw(k), (1) ( 1) (1 ) ( ) , 10 (3) w k + = −b w k + ac min k  为了计算此阶段所需时间，将公式（3）递推得 b a c b a c b w k w k n b w k a c b b n n n min min 1 min (1 ) [ ( ) ] ( ) (1 ) ( ) [1 (1 ) (1 ) ]  +  = − − + = − +  + − + + −  −

第二阶段:保持每周吸收最少热量不变,减肥至目 标体重, C·C C·C (k+n)=(1-b)"[pw(k) min min b b 代入w(k+n)=75,W(k)=90,计算得 hn[(75-50)90-50 1 18.564 hn(1-0.025) 因此第二阶段减肥19周,预计各周周未(k+n从1起) 体重为89,88025,87.074,86.148,85244 84.363,83.504,82.666,81.84981.053 80.277,79.520,78.782,78.062,77361 76.677,76.010,75.360,74.726

第二阶段：保持每周吸收最少热量不变，减肥至目 标体重， b a c b a c w k n b w k n min min ( ) (1 ) [ ( ) ]  +  + = − − 代入w(k+n)=75,w(k)=90,计算得 18.564 ln(1 0.025) ln[( 75 50)/(90 50)] = − − − n = 因此第二阶段减肥19周，预计各周周末(k+n从11起） 体重为89，88.025，87.074，86.148，85.244， 84.363，83.504，82.666，81.849，81.053， 80.277，79.520，78.782，78.062，77.361， 76.677，76.010，75.360，74.726

第二阶段增加运动加速减肥 下表为每小时每公斤体重运动消耗的热量7; 运动 跑步乒乓游泳自行车跳舞 热量消耗704479(5025(中30 kcal/kg.h) m/min)速 设每周进行上表中的某运动时间为t,即运动消耗的热 量为rw(k),因它减少的体重为ahv(k),代入公式(2) 得 v(+1)=W(k)+a·c(k+1)-(b+ay)w(k),(4)

第二阶段增加运动加速减肥 下表为每小时每公斤体重运动消耗的热量γ; 运动 跑步 乒乓 游泳 自行车 跳舞 热量消耗 （kcal/kg•h) 7.0 4.4 7.9 (50 m/min) 2.5(中 速） 3.0 设每周进行上表中的某运动时间为t,即运动消耗的热 量为γtw(k),因它减少的体重为aγtw(k),代入公式（2） 得 w(k +1) = w(k) + a c(k +1) − (b + at)w(k), (4)

v(k+1)=w(k)+a:c(k+1)-(b+ay)w(k),(4) 仍然以上面w(+1)=w(k)+a·cmn-(b+an)w(k) 的客户为例 假如他在第=(1-0.05-3 )w(k)+1.25 二阶段每周 8000 跑步三小时,=0.972375(k)+125 即 故W(k+n)=0.972375[v(k)-45.249]+45249 代入w(k+n)=75,W(k)=90,计算得 n=(75=45249)90-45249)=1457 hn0.972375

w(k +1) = w(k) + a c(k +1) − (b + at)w(k), (4) 仍然以上面 的客户为例， 假如他在第 二阶段每周 跑步三小时， 即 0.972375 ( ) 1.25 ) ( ) 1.25 8000 7 3 (1- 0.025- ( 1) ( ) ( ) ( ) min = + +  = + = +  − + w k w k w k w k a c b at w k 故 w(k + n) = 0.972375 [w(k) − 45.249]+ 45.249 n 代入w(k+n)=75,w(k)=90,计算得 14.57 ln 0.972375 ln[( 75 45.249)/(90 45.249)] = − − n =