图论与网络模型 及其应用(五) 冲量模型
图论与网络模型 及其应用(五) ——冲量模型
本节我们用一个能源利用系统的例子 说明冲量过程的建模方法 我们考察某地区的能源利用状况先界 定系统的范围,比如只考虑能源利用量、价 格、生产率、环境质量、工业产值、就业机 会及人口总数等7个因素,它们之间相互复 杂的关系可以简化为一个因素对另外因素直 接的促进正面成促退负面作用。要研究 的问题是,当其中某个因素突然发生改变时, 预测系统各因素的演变过程和趋势
本节我们用一个能源利用系统的例子 说明冲量过程的建模方法. 我们考察某地区的能源利用状况.先界 定系统的范围,比如只考虑能源利用量、价 格、生产率、环境质量、工业产值、就业机 会及人口总数等7个因素，它们之间相互复 杂的关系可以简化为一个因素对另外因素直 接的促进(正面)或促退(负面)作用。要研究 的问题是,当其中某个因素突然发生改变时, 预测系统各因素的演变过程和趋势
定性模型 我们将能源利用系统的每个因素用图的一个顶点来表 示,因素间的直接影响用带方向的边表示为了表示因 素间的影响是促进还是促退,我们在箭头旁边分别标 示“+”或“”这样我们便得到了一个带符号的有向 图G1. V1-能源利用量 ⅴ2-能源价格 G1 能源生产率 4-环境质量 y+,,V-工业产值 V6-就业机会 V7-人口总数
定性模型 V1 ---能源利用量 V2 ---能源价格 V3 ---能源生产率 V4 ---环境质量 V5 ---工业产值 V6 ---就业机会 V7 ---人口总数 v3 • • • • • • • v2 v5 v6 v7 v4 v1 + + + + + - + + - G1 - - 我们将能源利用系统的每个因素用图的一个顶点来表 示,因素间的直接影响用带方向的边表示.为了表示因 素间的影响是促进还是促退,我们在箭头旁边分别标 示“+”或“-”.这样,我们便得到了一个带符号的有向 图G1
需说明的是:第一,两顶点之间的有向边表示 两因素间的直接影响如vv3带正号表示某时 段能源利用量v的增加导致下一时段能源生 产率的增长,vγ带符号则表示v的增加导致 下一时段环境质量的下降至于因素间的间 接影响是由几条相连的同向边反映出来 第二,像能源利用这样的社会经济系统 因素间的影响关系十分复杂,应该合理、简 化地确定哪些因素间有直接影响这里除了 主要根据客观规律作出决定外方针政策有 时也是判断的依据如能源利用量增加时能 源价格是降低还是升高,是由政府鼓励利用 能源还是限制能源利用的价格政策决定的
需说明的是:第一,两顶点之间的有向边表示 两因素间的直接影响,如v1v3带正号表示某时 段能源利用量v1的增加导致下一时段能源生 产率的增长, v1v4带符号则表示v1的增加导致 下一时段环境质量的下降.至于因素间的间 接影响是由几条相连的同向边反映出来. 第二,像能源利用这样的社会经济系统, 因素间的影响关系十分复杂,应该合理、简 化地确定哪些因素间有直接影响,这里除了 主要根据客观规律作出决定外,方针政策有 时也是判断的依据.如能源利用量增加时能 源价格是降低还是升高,是由政府鼓励利用 能源还是限制能源利用的价格政策决定的
定义邻按矩阵A=(a如下: 若v,ν,为正 an=-1,若v"为负 0,若不存在边v;" 于是 0-11-1000 0-100100 A=000000 3 10000 000000 1000000 5
定义邻接矩阵A=(aij)如下: = v v v v v v a i j i j i j i j 若不存在边 若 为 负 若 为 正 0, -1, 1, 于是 − − − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 A v3 • • • • • • • v2 v5 v6 v7 v4 v1 + + + + + - + + - - -
定量模型 刚才的有向图G1以及矩阵A是定性模型如果将系 统各因素加以量化那么我们便得到定量模型我们 用加权的有向图表示如: 这里能源利用量v1 G2 V2 t 4 0.7 和生产率w均以变 1203化10%为一个单位, 0.5 0.8v11.5 v,如图,v增加1个单 12 位将引起v3.8个单 位的增长边上的权 1.5 我们用w表示
定量模型 v3 • • • • • • v2 • v5 v6 v7 v4 v1 1 1 -2 -0.5 1.2 1.5 0.3 0.8 1.5 -0.7 -1.2 G2 这里能源利用量v1 和生产率v3均以变 化10%为一个单位, 如图, v1增加1个单 位将引起v30.8个单 位的增长.边上的权 我们用wij表示. 刚才的有向图G1以及矩阵A是定性模型,如果将系 统各因素加以量化,那么我们便得到定量模型,我们 用加权的有向图表示.如:
这样我们便得到图G2的邻接矩阵为 V1出发的边 0-0.50.8-1.2000 0.70 0000 0 000000 00000 000.3 1.2 0000 01.50 0 1.5 -0.7 12 0.3 0.5 3 08v11.5 12 1.5
这样我们便得到图G2的邻接矩阵为 − − − − = 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1.2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 2 0 0 1 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.8 1.2 0 0 0 W v3 • • • • • • v2 • v5 v6 v7 v4 v1 1 1 -2 -0.5 1.2 1.5 0.3 0.8 1.5 -0.7 -1.2 V1出发的边
冲量过程 为了研究系统的某个因素一个突然变化所引起的整个 系统在其后各时段的演变过程用v)表示因素v在时 段的值(我们这里实际上是将时间离散化处理),p(t) 表示在时段t的改变量冲量)设系统共有n个因素,根据 W的含义对t0,1,2,有 v2(t+1)=v;(t)+P2(t+1),i=1,2,…,H, P/(t+1)=∑mnP(),j=1,2,…, 我们记v(1)=(v()…,ν(t),P(t)=(P()…,p(),则 上面两式可用矩阵表示 V(t+1)=V(t)+P(t+1) P(t+1)=P(t)W,t=0,1,2,…由此P(t)=P(0)W
冲量过程 为了研究系统的某个因素一个突然变化所引起的整个 系统在其后各时段的演变过程,用vi (t)表示因素vi在时 段t的值(我们这里实际上是将时间离散化处理), pi (t) 表示在时段t的改变量(冲量).设系统共有n个因素,根据 wij的含义,对t=0,1,2,…,有 ( 1) ( ), 1,2, , , ( 1) ( ) ( 1), 1,2, , , 1 p t w p t j n v t v t p t i n n i j i j i i i i + = = + = + + = = P(t 1) P(t)W, 0,1,2, . ,P( ) P(0)W . V( 1) V( ) P(t 1), V( ) ( ( ), , ( )), ( ) ( ( ), , ( )), 1 1 t t t t t t v t v t P t p t p t n n + = = = + = + + = = 由 此 上面两式可用矩阵表示为 我们记 则
如果只考虑系统在初始状态基础上的变化不 妨设 V(0)=P(0) 于是我们便可以计算出P(和V)(以A为例) t p1 p2 p3 p4 Ps p6 p, V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 010000001000000 10-11-10001-11-1000 21-1001012-211100 31-1110103-32-2111
如果只考虑系统在初始状态基础上的变化,不 妨设 V(0)=P(0) 于是我们便可以计算出P(t)和V(t)(以A为例): t p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 -1 0 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 2 1 -1 0 0 1 0 -1 2 -2 1 -1 1 0 0 3 1 -1 1 -1 0 1 0 3 -3 2 -2 1 1 -1 … … … … …
这种由某些因素在初始时段的变化(冲量)引 起的系统的演变过程成为冲量过程当初始 冲量P(0)中只有一个分量是1,其余为0时成 为简单冲量过程记为S一般的冲量过程可 以看成若干个简单冲量过程的叠加 简单冲量过程的稳定性 如果系统的任一因素在t0的变化引起的各 因素在任意时段的冲量和值都不会无限增 长或无限减少,那么这个系统的冲量过程S 是稳定的
这种由某些因素在初始时段的变化(冲量)引 起的系统的演变过程成为冲量过程.当初始 冲量P(0)中只有一个分量是1,其余为0时,成 为简单冲量过程,记为S.一般的冲量过程可 以看成若干个简单冲量过程的叠加. 简单冲量过程的稳定性 如果系统的任一因素在t=0的变化,引起的各 因素在任意时段的冲量和值都不会无限增 长或无限减少,那么这个系统的冲量过程S 是稳定的