弱肉强食模型 1、背景 回顾 生活在同一环境中的各类生物之间进行残酷的生存竞 争,一类动物靠捕食另一类动物生存设种群甲靠丰富 的自然资源生长而种群乙靠捕食种群甲为生,象食用 鱼与鲨鱼美洲兔与山猫,叶松与蚜虫等生态学上称 甲为食饵称乙为捕食者,二者共处的系统称为食饵 捕食者系统( Prey-Predator下面我们来介绍PP系统 最初的模型它还有一段历史背景
弱肉强食模型 1、背景 回顾 生活在同一环境中的各类生物之间,进行残酷的生存竞 争,一类动物靠捕食另一类动物生存.设种群甲靠丰富 的自然资源生长,而种群乙靠捕食种群甲为生,象:食用 鱼与鲨鱼,美洲兔与山猫,落叶松与蚜虫等.生态学上称 甲为食饵,称乙为捕食者,二者共处的系统称为食饵— 捕食者系统(Prey-Predator).下面我们来介绍P-P系统 最初的模型.它还有一段历史背景
意大利生物学家 D'Ancona于2世纪20年代中期进行了 鱼类各个种群间相互依存、相互制约的研究在研究过 程中,他无意中发现了第一次世界大战那些年代地中海 各港口所获各种鱼类占总渔获量的百分比资料特别是, 他发现了各类软骨掠肉鱼(鲨鱼,鳐鱼魟鱼等这些鱼不 是很理想的食用鱼所占的百分比如下: 年份1914151617181920212223 % 921422121.236427316.0159148107 D'Ancona无法解释这个现象为什么降低捕鱼水平时, 比起被捕食者,对捕食者更有利他求助于数学家
意大利生物学家D’Ancona于20世纪20年代中期进行了 鱼类各个种群间相互依存、相互制约的研究.在研究过 程中,他无意中发现了第一次世界大战那些年代地中海 各港口所获各种鱼类占总渔获量的百分比资料.特别是, 他发现了各类软骨掠肉鱼(鲨鱼,鳐鱼,魟鱼等,这些鱼不 是很理想的食用鱼)所占的百分比,如下: 年份 1914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 % 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7 D’Ancona无法解释这个现象:为什么降低捕鱼水平时, 比起被捕食者,对捕食者更有利.他求助于数学家
2. Volterra模型 为此,D’ Ancona求助于同事著名的意大利数学家 沃特拉( Volterra,希望沃特拉能建立一个数学模型解释 这个现象沃特拉的考虑 他将鱼分成两类:食用鱼和掠肉鱼分别用x(和y(表示; 他认为对食用鱼而言食物很丰富如果没有掠肉鱼的话, 其数目服从指数增长规律; 其次单位时间内掠肉鱼和食用鱼相遇的次数正比于x 从而食用鱼减少的速度可设为为a而且掠肉鱼的自然 减少率与它们存在的数目成正比 =nx-axy=x(r-ay) 于是没有渔业活t 动时的模型为中 dt--cy+bxy=-v(c-bx)
2. Volterra模型 为此, D’Ancona求助于同事----著名的意大利数学家 沃特拉(Volterra),希望沃特拉能建立一个数学模型,解释 这个现象.沃特拉的考虑: 他将鱼分成两类:食用鱼和掠肉鱼,分别用x(t)和y(t)表示; 他认为对食用鱼而言,食物很丰富,如果没有掠肉鱼的话, 其数目服从指数增长规律; 其次,单位时间内掠肉鱼和食用鱼相遇的次数正比于xy, 从而食用鱼减少的速度可设为为axy,而且掠肉鱼的自然 减少率与它们存在的数目成正比. (1) ( ). ( ), = − + = − − = − = − cy bxy y c bx dt dy rx axy x r ay dt dx 于是没有渔业活 动时的模型为
模型的求解: x(r-ay) at 求解相轨线,分离变量 y(c-bx) at 得到 (r-ay)dy (c+ bx)dx 积分得:rlny-qgy=-clnx+bx+lmK, :y'e=Kx成1n-ycbx K 上式不能解出y=(x)这种显式解. 下面我们来进行平衡解及相轨线分析,以进一步了解 方程组(1)的解的性质
模型的求解: x c bx dx y (r ay)dy (− + ) = − 求解相轨线,分离变量 得到: : (2) : ln ln ln , y e K x e y e x e K r y ay c x bx K r a y c b x r a y c b x = = − = − + + 即 − − 或 − − 积分得 上式不能解出 y=f(x) 这种显式解. = − − = − ( ). ( ), y c bx dt dy x r ay dt dx 下面我们来进行平衡解及相轨线分析,以进一步了解 方程组(1)的解的性质
模型的求解: x(r-ay) at y(c-bx) at 对此非线性微分方程组
模型的求解: = − − = − ( ). ( ), y c bx dt dy x r ay dt dx 对此非线性微分方程组
容易看出方程组(1)有两个平衡解:(0,0)和(c/b,r/a) 我们讨论后一个平衡解的性质 其次我们可以求出两条特殊轨线: at x(t)=x0e",y(t)=0 y(c-bx) x(t=0,y(t=yoe 也就是说,x轴和y轴的正半轴都是方程组(1)的轨线这样, 我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线即 (2)式所描述的解)将永远保持在第一象限内下面我们 进一步来证明由(2)式所描述的轨线族是封闭的 b 8=K(2) 为此我们取 f(r=xe, g()=y'e 研究这两个函数它们结构相同,我们只要研究一个即可
容易看出,方程组(1)有两个平衡解: (0,0)和(c/b,r/a). 我们讨论后一个平衡解的性质. 其次,我们可以求出两条特殊轨线: ( ) 0, ( ) . ( ) , ( ) 0; 0 0 ct rt x t y t y e x t x e y t − = = = = 也就是说,x轴和y轴的正半轴都是方程组(1)的轨线.这样, 我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线(即 (2)式所描述的解),将永远保持在第一象限内.下面我们 进一步来证明由(2)式所描述的轨线族是封闭的. = − − = − ( ). ( ), y c bx dt dy x r ay dt dx y e x e K (2) r ay c bx = − − 为此,我们取 ( ) , ( ) . c bx r ay f x x e g y y e − − = = 研究这两个函数.它们结构相同,我们只要研究一个即可
f(x)=xe^因此,∫()=0,f(+∞)=0,而且x>Q时 cx-bx x(c-bx b b e 因此f(x)有唯一的驻点x=c/b易知在此点出(x达到 最大值 其图形为: fr) gv) clb
. ( ) ( ) ( ) . , (0) 0, ( ) 0, 0 1 1 b x c b x c c c b x e x c bx e cx bx f x f x x e f f x − = − = = = + = − − − 因 此 而 且 时 因此,f(x)有唯一的驻点x=c/b.易知,在此点出f(x)达到 最大值 ( ) . c c m e b c f − = 其图形为: x f(x) c/b m f y g(y) r/a m g
ye xe=f()g()=k 2) 我们对K讨论如下: ①:K>fmgm这时方程(2)无解; ②:K=fngm.这时方程(2)有唯一解x=c/b,y=r/a.相 轨线退化为一个平衡点P; :0<K<fmgm这时方程(2)具有无穷多解设K=pgm X y相平面 r/a x c/b X X c/b X 令(x)=得到两个解x1x2,即相轨线过点(x1,r/a),(x2ra)
y e x e f (x)g( y) K (2) r a y c b x = = − − 我们对K讨论如下: ①:K>fmgm,这时方程(2)无解; ②: K=fmgm,这时方程(2)有唯一解x=c/b,y=r/a.相 轨线退化为一个平衡点P; ③: 0<K<fmgm,这时方程(2)具有无穷多解.设K=pgm. x f(x) c/b m f 1 x 2 x p 令f(x)=p,得到两个解x1 ,x2 ,即相轨线过点(x1 ,r/a), (x2 ,r/a). x y c/b 1 x 2 x r/a . . . 相平面
ye xe=f()g()=k (2) O:0p2故方程(2)的解 g(y)=q=K/f(x)gm有两个一个大于ra,个小于r/a
y e x e f (x)g( y) K (2) r a y c b x = = − − ③: 0p,故方程(2)的解 g(y)=q=K/f(x)<gm有两个:一个大于r/a,一个小于r/a. 分析x的不 同所引起的y 的变化
这样我们就证明了当0<K<fmgn时的相轨线是一条 封闭曲线 K减少 P VI X x 从而,随着K的不同我们得到一族封闭曲线P为中心这 意谓方程组(1)的解是一个周期解设其周期为T我们可 以进一步分析相轨线的走向为逆时针方向
这样我们就证明了当0<K<fmgm时的相轨线是一条 封闭曲线. • K减少 P 1 x 2 x x 1 y 2 y a r b c • • • • • P 从而,随着K的不同,我们得到一族封闭曲线,P为中心.这 意谓方程组(1)的解是一个周期解.设其周期为T.我们可 以进一步分析相轨线的走向,为逆时针方向
