差分方程模型 按年龄分组的种群增长模型
差分方程模型 按年龄分组的种群增长模型
前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型, 微分方程模型为 rx(1 差分方程模型为 k+1 f(、 k=012 这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑特 别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的 增长的影响有很大的不同这一特点 本节我们介绍的模型是 Leslie在研究女性人口时建立的
前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型, 微分方程模型为 (1 ) N x rx dt dx = − 差分方程模型为 +1 − = (1− ), k = 0,1,2, N y y y ry k k k k 这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特 别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的 增长的影响有很大的不同这一特点. 本节我们介绍的模型是Leslie在研究女性人口时建立的
问题的分析与模型的假设 将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组,比如研究 人口时我们可以每10岁或者5岁分成一个年龄组与此 相对应,将时间离散化成时段其间隔保持与年龄组的 间隔一致(没有比第n组中年龄最大值更大者) 种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用雌 性个体数量为研究对象比较直接方便下面的种群 数量就是指该种群的雌性数量. 记第个时段第年龄组的种群数量为x(k),i=1 2,…,n;k=0,1,2第年龄组的繁殖率为b,即第年 龄组的每个雌性个体在一个时段內的平均繁殖数量
问题的分析与模型的假设 将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组,比如研究 人口时我们可以每10岁或者5岁分成一个年龄组.与此 相对应,将时间离散化成时段,其间隔保持与年龄组的 间隔一致.(没有比第n组中年龄最大值更大者) 种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用雌 性个体数量为研究对象比较直接,方便.下面的种群 数量就是指该种群的雌性数量. 记 第k个时段 第i 年龄组 的种群数量为 xi (k), i=1, 2, …，n;k＝0,1,2,…,第i 年龄组的繁殖率为bi ,即第i 年 龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量
记第年龄组的死亡率为d其意是第年注意这两个 龄组个时段内的死亡数与该组的总数之“率”的意 比:因此s;=1-d为存活率dn=1,Sn2=0 义不同 这里我们进一步假设b和d不随时 这与林场经营 段变化只与其年龄的分组关 向题以及渔场 模型的建立 经营问题不同 下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人 数之间的转移变化视律 x+1(k+1)=Sx(k),i=1,2,…,n-1. x1(k+1)=∑b2x1(k)
记第i 年龄组的死亡率为di ,其意是第i年 龄组1个时段内的死亡数与该组的总数之 比;因此si =1- di为存活率.dn =1, sn =0. 注意:这两个 “率”的意 义不同 这里我们进一步假设bi和di不随时 段k变化,只与其年龄的分组i有关. 模型的建立 下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人 数之间的转移变化规律. ( 1) ( ), 1,2, , 1. xi+1 k + = si xi k i = n − = + = n i i i x k b x k 1 1 ( 1) ( ) 这与林场经营 问题以及渔场 经营问题不同
x1(k+1)=∑ b,x1(k),x+1 (k+1)=S1x,i=1,2,…,n-1 将第k时段的各年龄组的人数写成向量 x1(k) x(k)=/2(h) 00 L=0 00 xn(k)」 0 则模型为 其中矩阵L为(如上) x(k+1=lx(k)
将第k时段的各年龄组的人数写成向量: = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x k x k x k k n x ( 1) ( ), 1 1 = + = n i i i x k b x k ( 1) , 1,2, , 1. xi+1 k + = si xi i = n − 则模型为 x(k +1) = Lx(k). (1) 其中矩阵L为(如上) (2) = − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 n n n s s s b b b b L
x(+1)=Lx(k) (1) 这是一阶齐次差分方程组其求解方法与一阶齐次差分 方程类似其解为 x(k)=Lx(0),k=1,2, (3) 着L和x(O已知通过上式我们容易计算出各个时段 的人数L中的数据由统计资料得到)
x(k +1) = Lx(k). (1) 这是一阶齐次差分方程组,其求解方法与一阶齐次差分 方程类似.其解为 (k) = L (0), k = 1,2, (3) k x x 若L和x(0)已知,通过上式我们容易计算出各个时段 的人数.(L中的数据由统计资料得到)
差分方程组平衡点的稳定性 x(+1)=Ax(k) 解代数方程 即 (A-E)x=o 结论:当1不是矩阵A的特种根时4)只有平衡点O而 当1是矩阵A的特种根时,(4)有非零平衡点其平衡点 为短阵A的特征向量
差分方程组平衡点的稳定性 解代数方程 x = Ax 即 (A − E)x = O 结论:当1不是矩阵A的特种根时,(4)只有平衡点O;而 当1是矩阵A的特种根时,(4)有非零平衡点,其平衡点 为矩阵A的特征向量. x(k +1) = Ax(k). (4)
(a≠=1,(1)的平衡点O的稳定性与其特种根 是否都在单位圆内有关 (b)=1:将x(k+1)=Ax(k在平衡点x*处展开得 x(k+1)-x*=Ax(k)一x*=A(x()-x*) 由于A有特种根1,即使其他的特种根都在单位 园内我们也不能由此得到平衡点x是稳定的 (需要进一步考察)
; ( ) 1,(1) 是否都在单位圆内有关 a 的平衡点O的稳定性与其特种根 (b) 1: 将x(k 1) Ax(k)在平衡点x *处展开得: i = + = x(k +1) − x* = Ax(k) − x* = A(x(k) − x*) 由于A有特种根1,即使其他的特种根都在单位 圆内,我们也不能由此得到平衡点x*是稳定的 (需要进一步考察)
稳定状况分析 由定义矩阵L中的元素满足 00 Leslie矩阵 关于 Leslie矩阵(简称L矩阵,有下面的研究成果:
稳定状况分析 由定义,矩阵L中的元素满足 0, 0 (5) 0 1, 1,2, , 1. = − i i i b b s i n 且 Leslie矩阵 关于Leslie矩阵(简称L矩阵),有下面的研究成果:
定理1L矩阵有唯一的正特征根1,且是单重的,其相 应的正特征向量为 x*=[1 112 n-11T 2 L矩阵的其他n-1个特征根满足 验证 入kA1,k=2,3,…,n (5) 注若某个=,则第1组应该取消
定理1 L矩阵有唯一的正特征根λ1 ,且是单重的,其相 应的正特征向量为 T n n s s s s s s * [1, , , , ] 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 − − = x L矩阵的其他n-1个特征根满足 k n (5) k | | , 2,3, , 1 = 注:若某个si=0,则第i+1组应该取消. 验 证