初等模型 如果研究的对象的机理比较简单,一般用 静态、线性、确定性模型描述就能达到建 模的目的,我们基本上可以用初等数学的 方法来构造和求解模型。 这样的模型我们一般称其为初等模型
初等模型 如果研究的对象的机理比较简单，一般用 静态、线性、确定性模型描述就能达到建 模的目的，我们基本上可以用初等数学的 方法来构造和求解模型。 这样的模型我们一般称其为初等模型
问题一:(公平席位问题) 席位任何分配,才能比较公平? 分析:若某单位有20个代表席位,分配给三个 部门,三个部门人数分别为甲103名,乙63名, 丙34名.通常根据部门人数的比例分配席位, 如此: 甲的席位为:200×20=10310席 103 63x20=636席 200 乙的席位为:34 20=34~4席 200 丙的席位为 惯例:以小数大者 优先分配名额
问题一: (公平席位问题) 席位任何分配,才能比较公平? 分析: 若某单位有20个代表席位, 分配给三个 部门, 三个部门人数分别为甲 103 名, 乙 63 名, 丙 34 名. 通常根据部门人数的比例分配席位, 如此: 甲的席位为: 乙的席位为: 丙的席位为: 20 10 3 200 103 = . 20 6 3 200 63 = . 20 3 4 200 34 = . 10席 6席 4席 惯例：以小数大者 优先分配名额
现在的问题是: 如果总席位增加1席,那么这个席位怎么 分配? 甲的席位为:103×21=10851席 200 乙的席位为:63 7席 21=6615 200 丙的席位为:34 3席 21=3.570 200 看到:尽管增加1个席位但丙的席位却少了1 个席位这显然是不公平的.我们需要建立 更公平的分配方法使各部门都满意
现在的问题是: 如果总席位增加1 席, 那么这个席位怎么 分配? 甲的席位为: 乙的席位为: 丙的席位为: 21 10.815 200 103 = 21 6 615 200 63 = . 21 3 570 200 34 = . 11席 7席 3席 看到: 尽管增加1个席位,但丙的席位却少了1 个席位,这显然是不公平的. 我们需要建立 更公平的分配方法,使各部门都满意
解决这个问题,关键是对“公平”的理解.即 什么是“公平”? 你认为什么是公平呢? 各种对“公平”的理 我们认苟公解是一个相对的公平是人的—种感 觉只有对比才能产生公平与不公平概念.你在 什么情况下感到公平与不公平?公平的程度能否 量化? 从经济学的蒎來说,当你的产幽祖对你 的投入之比与他人的产些粗对于他人的教入 之比粗等时你就惑到是公平的
解决这个问题,关键是对“公平”的理解. 即 什么是“公平”? 你认为什么是公平呢? 各种对“公平”的理 我们认为:公平是一个相对的 解 ,公平是人的一种感 觉.只有对比才能产生公平与不公平概念. 你在 什么情况下感到公平与不公平?公平的程度能否 量化? 从经济学的观点来说,当你的产出相对于你 的投入之比与他人的产出相对于他人的投入 之比相等时,你就感到是公平的
以A、B两方为例 席位人员数 A的产出 B的产出 A的投入 B的投入 对双方公平:r4=rn; 对A不公平:rA≤ B 2 对B不公平:r4>rn 建模 设AB双方分别有1、P2人,占有席位 为 29 A B
以A、B两方为例 的投入 的产出 的投入 的产出 B B r A A rA = , B = : . : ; : ; A B A B A B B r r A r r r r = 对 不公平 对 不公平 对双方公平 建模: 为 、 则 设 、 双方分别有 、 人 占有席位 , , 1 2 1 2 n n A B p p , . 2 2 1 1 p n r p n r A = B = 席位 人员数
,即 2时,对B不公平,其不公平程度 可用r1-rn="-"2来衡量 我们称它为绝对不公平程度 例①设n1=80,n2=10=2=10,则n1_马21 40 Q又设D1=800,p2=1000,n1=40,n2=25,则 40 我们看到,两种情形下,分配席位都对B不公平,其绝 对不公平程度是一样的。但是,我们看到,后一种情形 下,人员数扩大10倍的情形下,吃亏的一方席位的扩大 倍数还低于另一方,更加不公平了
. , , B , 2 2 1 1 2 2 1 1 可 用 来衡量 当 即 时 对 不公平 其不公平程度 p n p n r r p n p n r r A B A B − = − 我们称它为绝对不公平程度。 . 40 1 2 800, 1000, 40, 25, 40 1 1 80, 100, 10, 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 （）又设 则 ＝ 例 （） 设 则 ＝ ； p n p n p p n n p n p n p p n n = = = = − = = = = − 我们看到，两种情形下，分配席位都对B不公平，其绝 对不公平程度是一样的。但是，我们看到，后一种情形 下，人员数扩大10倍的情形下，吃亏的一方席位的扩大 倍数还低于另一方，更加不公平了
我们考虑相对不公平程度: 对B的相对不公平程度(值): p2 p r(n.n 2 类似当r1<r时,对A的相对不公平程度为 r、(n,n2)=∠P/B=P1-1 nip
我们考虑相对不公平程度: 对B的相对不公平程度(值): 1 (1) n p n p p n p n p n r (n ,n ) 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 B 1 2 = − − = ( , ) 1 (2) , , A : 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 = − − = n p n p p n p n p n r n n r r A 类 似 当 A B 时 对 的相对不公平程度为
由上面的讨论 我们希望所得分配方案使rA(n1,n2)或rg(m1,n2)尽可能小 求解: 现考虑在前面的席位分配假设下,当总席位增加1 席附,该席位应分配给A还是B? 不失一般性设对B不公平,即 当增加1席时,有下面几种情形:P1P2 (1)若给A方增加1席,此时 n.+1 对B不公平, ra(n1+1,n2)= (n,+1)p2-1 (3) 2p
, ( , ) ( , ) . , 我们希望所得分配方案使 1 2 或 1 2 尽可能小 由上面的讨论 rA n n rB n n 求解: 现考虑在前面的席位分配假设下,当总席位增加 1 席时,该席位应分配给A还是B? 不失一般性,设对B不公平,即 2 2 1 1 p n p n 当增加1席时,有下面几种情形: (1)若给A方增加1席, 此时 2 2 1 1 1 1 p n p n p n 1 + 对B不公平, 1 (3) n p n 1 p r (n 1,n ) 2 1 1 2 B 1 2 − + + = ( )
(2)若给B增加1席,可能出现两种情况: (1)n1>n2+1,此时仍然对B不公平,所以 p 此席位当然应该给B (i)1<m2+1 此时对A不公平,且: (n1,n2+1) (n2+1)p,-1 p2 因公平的分配原则总使相对不公平程度尽可 能地小,所以如果 r(n1+1,n2)<r(n1,n2+1) (5) 则这1席位应给A方否则应给B方
(2)若给B增加1席,可能出现两种情况: , p n 1 p n (i) 2 2 1 1 + 此时仍然对B不公平, 所以 此席位当然应该给B. , p n 1 p n (ii) 2 2 1 1 + 此时对A不公平, 且: 1 (4) n p n 1 p r (n ,n 1) 1 2 2 1 A 1 2 − + + = ( ) 因公平的分配原则总使相对不公平程度尽可 能地小,所以如果 r (n 1,n ) r (n ,n 1) (5) B 1 + 2 A 1 2 + 则这1席位应给A方,否则应给B方
(5式等价于: (n1+1)p2 1< (n2+1)p p < n2(H2+1)n1(mn1+1) 于是有:当6)式成立时增加的1席应该给A反 之给B P2 令 n1(m+D(=1,2) 则增加的1席应分配给Q值较大的一方
(5)式等价于: (6) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 + + − + − + n n p n n p n p n p n p n p 即 于是有: 当(6)式成立时,增加的1席应该给A,反 之给B. ( 1,2), ( 1) 2 = + = i n n p Q i i i 令 则增加的1席应分配给Q值较大的一方