《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分学（8.3）全微分

全微分

全 微 分

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+Ay)-f(x,yAk(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 全增量的概念

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏增量 二元函数 对 x和对 y的偏微分 全增量的概念

如果函数x=∫(x,y)在点(xy)的某邻域内有定义,并设 P(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之 差 f(x+△x,y+Δy)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量Δx,4y的全增量,记为, 即△=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 一般来讲,全增量Δz与Δ,Δy的相依关系是比较复杂的,因此我们希 望能象一元函数的微分那样,用△,Ay的线性函数x+BA来近似表 示,并给出误差估计。由此引出如下定义:

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之 差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增量，记为z ， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 一般来讲，全增量z与x,y的相依关系是比较复杂的，因此我们希 望能象一元函数的微分那样，用x,y的线性函数Ax + By 来近似表 示，并给出误差估计。由此引出如下定义：

全微分的定义 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的全增量 Δ=∫(x+Ax,y+Δy)-∫(x,y)可以表示为 △z=A△x+BAy+0(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关,p=√(△x)2+(△Ay)2 则称函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点x,y)的 全微分,记为,即dz=A△x+B△y 函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续

全微分的定义 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续

事实上 △z=AAx+B△y+0(P) lim△z=0, 0 limf(x+△x,y+△y) △x→>0 △y→>0 =limf(x,y)+△x] 0 =∫(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 可微的条件

事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续. 二、可微的条件

定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数、 a必存在,且函数z=∫(x,y)在点,)的全微分 为 z △+△ 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+B△y+0()总成立

定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 xz  、 yz  必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y yz x xz dz    +  = ． 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立

当y=0时,上式仍成立,此时p=Ax f(x+Ax,y)-∫(x,y)=A·△x+o(△xD, f(x+△x,y)-∫(x,y) z △→>0 △y 同理可得B 7z 元函数在某点的导数存在←微分存在 多元函数的各偏导数存在<全微分存在 例如f(x,y) 13x2+y2≠0 0 2 0

当y = 0时，上式仍成立， 此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   = 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如 . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y

在点(0,0)处有 f2(0,0)=f,(0,0)=0 A-x(0,0)·Axf,(0,0)·2y △y·△p (△x)2+(4y)2 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △v·△ 则 (Δx)2+(4y)2△r:△x (△x)2+(△x)22 说明它不能随着ρ→>0而趋于0,当p→>0时 Az-f(0,0)·△x+∫,(,0)·4y≠0(P 函数在点(0,0)处不可微

在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时 z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏 今Qx,在点x,y)连续,则该函数在点x,y) 导数 微分 证△z=f(x+△x,y+△y)-∫(x,y) ff(x+Ax, y+Ay)-f(x,y+Ay)l +f(x,y+ay)-f(x,y)l 在第一个方括号内,应用拉格朗日中值定理

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)], 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理

f(x+△x,y+Δy)-∫(x,y+△y) =∫(x+61Ax,y+)Ax(00时,E1→>0 同理∫(x,y+Ay)-f(x,y) ∫(x,y)4+624, 当Δ→>0时,E2→>0, =f(x,y)Ax+E4x +f,(x, y)Ay+e

f (x + x, y + y) − f (x, y + y) = f x (x + 1x, y + y)x (0 1)  1  = f x (x, y)x +  1x （依偏导数的连续性） 其中 1  为x, y的函数, 且当x → 0,y → 0时， 1 → 0. 同理 f (x, y + y) − f (x, y) ( , ) , 2 f x y y y = y  +   当y → 0时， 2 → 0, z = f x (x, y)x +  1x f x y y y + y ( , ) +  2