天津大学管理学院：《管理科学基础》课程PPT教学课件（运筹学）第十四章 马尔可夫分析

第十四章马尔可夫分析 第一节引 ★1907年由俄罗斯数学家马尔可夫( A Markov)提出, 并由蒙特-卡罗( Mote-Carlo)加以发展 ★用于分析随机事件未来发展变化的趋势,即利用某 变量的现状和动向去预测该变量未来的状态及动 向,以预测未来某特定时期可能发生的变化,以便 采取相应的对策。 ★内容:马尔可夫过程、马尔可夫链

★1907年由俄罗斯数学家马尔可夫（A.Markov）提出， 并由蒙特-卡罗(Mote-Carlo)加以发展。 ★用于分析随机事件未来发展变化的趋势，即利用某 一变量的现状和动向去预测该变量未来的状态及动 向，以预测未来某特定时期可能发生的变化，以便 采取相应的对策。 ★内容：马尔可夫过程、马尔可夫链

例1设某地居民的牛奶供应由A、B、C三厂负责,每月 订一次,假定牛奶固定销售给1000户顾客,要订哪 厂牛奶由顾客自己选择。因广告宣传、服务质量等 原因,用户会改换厂家。假设有6月份三个厂销售情 况的市场调查记录,具体统计资料如下表所示 六月份顾客的变化 牛奶厂 1日顾客数 失|7月日顾客数 200 60 40 220 A—B—C 500 40 50 490 300 35 45

设某地居民的牛奶供应由A、B、C三厂负责，每月 订一次，假定牛奶固定销售给1000户顾客，要订哪 厂牛奶由顾客自己选择。因广告宣传、服务质量等 原因，用户会改换厂家。假设有6月份三个厂销售情 况的市场调查记录，具体统计资料如下表所示： 例1

六月份顾客的变化 牛奶丿 6月日顾客数 失|7月1日顾客数 200 60 40 220 A—B—C 500 40 50 490 300 35 45 29 表中表示泆失于概率,如B厂六月份失于A厂35户,而B有 500户,因此,BJ6月份失于A的概率为pa=35/500=0.07 同理,可得 Pa=25/300=0.083,p=160/200=0.800 pB=20/200=0.100,p3=450/500=0.900 PB2=20/300=0.067,pc=20/200=0.100 pBc=15/500=0.030,Pc=255/300=0850

B A B B 6 A 35/500 0.07 ij p i j pBA   表中 表示失于的概率，如 厂六月份失于 厂35户，而 有 500户，因此， 厂 月份失于 的概率为 。 25/300 0.083, 160/ 200 0.800 20/ 200 0.100, 450/500 0.900 20/300 0.067, 20/ 200 0.100 15/500 0.030, 255/300 0.850 p p p p p p p p                 CA AA AB BB CB AC BC CC 同理，可得

牛奶厂 A B 6月1日顾客 200 500 300 7月1日顾客 220 490 290 数 160 A PA=0.80010=0070Pa=0083 得失 值其率 及 20 450 20 概 B PB=0.100PB=0900PB=0067 20 15 255 Pc=0100pnc=0.030pc=0.850

p  0.800 AA p  0.070 BA p  0.083 CA p  0.100 AB p  0.900 BB p  0.067 CB p  0.100 AC p  0.030 BC p  0.850 CC

将上表的所得情况用概牽矩阵的形式进行描述,则有 B A「0.8000.1000.100维 B0.07009000030 持和获 C00830.0670085↓得 维持和损失 根据以上数据可做以下工作: ①预测未来某时刻各销售者的市场占有率 ②预测将来销售者的市场份额的得失比率 ③预测市场是否会出现市场平衡状态(稳定市场份额); ④按对市场份额得失分析销售者的推销活动,指导厂家促销

0.800 0.100 0.100 0.070 0.900 0.030 0.083 0.067 0.085       A A C 维持和损失 B B C 维 持 和 获 得 根据以上数据可做以下工作： ①预测未来某时刻各销售者的市场占有率； ③预测市场是否会出现市场平衡状态（稳定市场份额）； ②预测将来销售者的市场份额的得失比率； ④按对市场份额得失分析销售者的推销活动，指导厂家促销

根据以上数据预测8月1日A、B、C三厂的市场占有率, 则8月1日的状态为 A厂的市场份额=022×0.80+0.49×0.07+0.29×0.083=0.234 A厂保持率B厂转入率C厂转入率 0.8000.1000.100 022049029007090000301023404830283 0.0830.0670.085 其中,[0.220490.29]向量为各厂7月份的市场占有份额 (订户数与总订户数之比),则8月份A厂拥有全部顾客 的234%,B厂为48.3%,C厂为28.3%

则8月1日的状态为     0.800 0.100 0.100 0.22 0.49 0.29 0.070 0.900 0.030 0.234 0.483 0.283 0.083 0.067 0.085        A厂的市场份额 0.220.800.490.07 0.290.083 0.234 A厂保持率 B厂转入率 C厂转入率 其中， 向量为各厂7月份的市场占有份额 （订户数与总订户数之比），则8月份A厂拥有全部顾客 的23.4%，B厂为48.3%，C厂为28.3%。 0.22 0.49 0.29

第二节正规随机矩阵的基本知识 ★概率向量 任何一个向量=[1u2…un],若u120,且∑12=1 则称u为概率向量 ★概率矩阵 在方阵P=[P]n中,若各个行向量都为概率向量, 则称P为概率矩阵或随机矩阵 概率矩阵具有以下性质

★概率向量  1 2  1 0, 1 n T n i i i u u u u u u u  任何一个向量   ，若  且  ， 则称 为概率向量。 ★概率矩阵 [ ] P ij n n p P 在方阵   中，若各个行向量都为概率向量， 则称 为概率矩阵或随机矩阵。 概率矩阵具有以下性质：

性质1: 设u∈R"为一个概率向量,A={an],是一个概率矩阵, 则Au=y也是一个概率向量。 证 y'=u'A=u, u 则y各分量之和为 y 所以Au为一个概率向量

性质1： [ ] n ij n n T u R A a A u y     设 为一个概率向量， 是一个概率矩阵， 则 也是一个概率向量。 证   11 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ] ( ) 1 n T T n m mn n n n i i i i i in i i i T n n n n n n i i ij i ij i j j i i j i a a y u A u u u a a u a u a u a y y u a u a u                                       则 各分量之和为 T 所以A u为一个概率向量

性质2:若A和B都为概率矩阵,则AB亦为概率矩阵, A亦为概率矩阵。 证 用A表示由矩阵A的第i组成的向量 由性质1知, BA.都是概率向量, 而 A1. B AB B 故AB的每一行组成的向量均为概率向量, 即AB为概率矩阵,A亦为概率矩阵

n A B AB A 若 和 都为概率矩阵，则 亦为概率矩阵， 亦为概率矩阵。 1 1 i T i T T n n A A i B A A B AB A B AB AB A             用 表示由矩阵 的第 行组成的向量， 由性质 知， 都是概率向量， 而 故 的每一行组成的向量均为概率向量， 即 为概率矩阵， 亦为概率矩阵。 证

★正规概率矩阵 对任一概率矩阵P,若存在m,使得P"(m为大于1的正整数) 的所有元素都是正数,则称P为正规概率矩阵 正规概 率矩阵 44 10 0 m 非正规概 率矩阵

, ( 1 ) m P m P m P 对任一概率矩阵 ，若存在 使得 为大于 的正整数 的所有元素都是正数，则称 为正规概率矩阵。 2 1 1 0 1 2 2 1 1 1 3 2 2 4 4 P P                   , 2 1 0 1 0 1 0 1 1 , 3 1 2 1 1 2 2 4 4 2 2 m m m m Q Q Q                               ，， 正规概 率矩阵 非正规概 率矩阵