第三节MM排队模型 标准的MM1模型(MM1/o/∞ 1.问题的一般提法 设:泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求:(1)系统状态概率Pn; 2)系统运行指标L,L,W,W
第三节 M/M/1排队模型 一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ / ） 1.问题的一般提法 设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq
2.系统状态概率 (1)利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态MMC系统的一种工具,设到达 与服务率分别为和u,则 A 由此列出平衡方程 APo=uPI APn1+Pn=(2+)Pn,n≥1
2. 系统状态概率 （1）利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 ，则 由此列出平衡方程： + = + = − + ( ) , 1 1 1 0 1 P P P n P P n n n 和 ... ... n-1 n n+1 0 1 2
(2)由平衡方程解得状态概率 AP P 由平衡方程 Pn1+HPn1=(+)Pn,n≥ 可解得状态概率 n≥ 记=P,称为服务强度,规定p<1(为什么?),则 P。=1 pP "F0
由平衡方程 + = + = −1 +1 ( ) , 1 0 1 P P P n P P n n n 可解得状态概率： = − = − ( ) (1 ), 1 1 0 P n P n n 记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则 = 1 = = − 0 0 1 P P P n n （2）由平衡方程解得状态概率
3.系统运行指标 (1)L。与L L表示系统中的平均顾客数,由期望定义, L=∑mn=∑m(1-p)=p(1-∑m d O p(1-p∑=(1-p) d n d dp ∑pn n=0 p(1-p) p(1-p) do 1 p)
3. 系统运行指标 （1）Ls与Lq − = − = − = − − = − = − = − = = − = − = = = − = = 1 1 ) 1 (1 ) ) 2 0 1 1 0 0 (1 1 (1 ) d d (1 ) d d (1 ) d d (1 ) (1 n 1 n n n n n n n n s n s L np n n L 表示系统中的平均顾客数，由期望定义
L=2(n-1)P=∑nPn-∑Pn=L2-(1-P) 其中D=2 L <1问题:为什么L,-Ln=P<1而不是=1)昵 一因为是均值。 (2)W与 首先可证,逗留时间W服从参数为4-的负指数分布 而负指数分布的均值等于其参数的倒数,故平均逗留时间 1-2 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间,即 W=w
= − = − = − = − − = = = s s n n n q n n n L L n P nP P L P ( 1) (1 ) 0 1 0 1 其中 = 1 。 问题：为什么Ls − L q = 1(而不是 = 1）呢？ ——因为是均值。 （ 2 ） Ws 与 Wq 1 1 = − − = − q s s W W W W 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 而负指数分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 首先可证，逗留时间 服从参数为 的负指数分布
(3)上述4个指标之间的关系—里特公式 Ls=nws La =nw a Ls -L 入W,Naμ 般的里特公式中应为孔,称有效到达率,即实际进入 系统率。本模型中因系统容量无限制,故λ=λ 例2某修理店只有一个修理工人,来修理的顾客到达数服从 泊松分布,平均每小时4人;修理时间服从负指数分布,平均 需6分钟。求:(1)修理店空闲的概率;(2)店内有3个顾 客的概率;(3)店内至少有1个顾客的概率;(4)店内顾客 的平均数;(5)顾客在店内的平均逗留时间;(6)等待服 务的顾客平均数;(7)平均等待修理时间;(8)必须在店 内消耗15分钟以上的概率
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式 1 Ls = W s Lq = W q Ls − Lq = W s −W q = 系统率。本模型中因系统容量无限制，故 。 一般的里特公式中 应为 ，称有效到达率，即实际进入 e = e 例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率
解:此为标准的MM模型,4=4人小时,4=人/分钟=10人小时, (2)P3=p3(1-p)=() 0.0384 L (人/小时); 5)W,=L=(小时/人) 3-5=15(人小时 (7)W0=H-1 4610-1(小时/人) (8)PW≥)=1-P<)=1-F()=c044=15=023
。 解：此为标准的 模型， 人 小时， 人 分钟 人 小时， 5 2 / 10 / 6 1 M/M/1 4 / = = = = = 。 小时 人） 人 小时） 小时 人） 人 小时） ) 0.223 4 1 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1 (8) ( ( / ; 15 1 10 1 6 1 1 (7) ( / ; 15 4 5 2 3 2 (6) ( / ; 6 1 1 (5) ( / ; 3 2 6 4 (4) ; 5 2 (3)1 ) 0.0384; 5 3 ) ( 5 2 (2) (1 ) ( ; 5 3 (1) 1 1.5 4 1 (10 4 ) 0 3 3 3 0 = − = − = = = = − = − = = − = − = = = = = − = − = = − = = = − = − − − P W P W F e e W W L L W L L P P P q s q s s s s
二.系统容量有限的MM模型(MM//NO 1.与(MM///∞)的区别 1)系统状态n=O,…,N; (2)进入系统的速/当n<N 0 n≥N 故平均到达率A2=4(1-PN)+0P=(1-P) 注:由于系统稳态时应达到统计平衡,即进入速率应等于离去速率,故 (1-PN)=(1-P0)
二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ N/ ） 1.与（M/M/1/ / ）的区别 (1 ) e PN PN PN n N λ n N n N = − + = − = (1 ) 0 0, , 当 (2) (1) 0 1 ; 故平均到达率 ， 当 进入系统的速率 系统状态 ，，， 。 注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于离去速率，故 (1 ) (1- P ) − PN = 0
2.状态概率 由此列出平衡方程: nPo=uPI RPn1+Pn+1=(+)Pn,n=1,…,N nP N-1 uP 先解得P=p 再邮P=P+P+…pP1-p=1可解得P, 尸 故 N+1 尸
2. 状态概率 = − − = = − − = + + + = = + = + 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 P P P P P P P P P P P N N N N n N N n n n 故 再由 可解得 ， 先解得 ， = + = + = = − + N- N n n n P P P P P n N P P 1 1 1 ( ) , 1, , -1 0 1 由此列出平衡方程： n-1 n 0 1 2 ... ... n+1 N-1 N
3.系统运行指标 N+1)p W W 其中2=4(1-P)为有效到达率
3. 系统运行指标 。 ， ， ， e q q e s s q s N N N n s n L W L W L L P N L nP = = = − − − + − − = = + + = (1 ) 1 ( 1) 1 0 1 1 0 其中e = (1− PN )为有效到达率