73 Romberg积分 Romberg求积方法是在积分区间逐次分 半的过程中利用外推法产生的一种数值积 分方法,当被积函数的光滑性条件满足时, 可以得到较精确的积分近似法. 7.31 Richardson外推法 外推法是一种精确度较低的近似公式组 合成精确度较高的近似公式的方法 设h0是任意数,F(h)是关于步长h逼近 F*的近似公式,它们的误差估计式为 F-F(h)=kh+k,h2+k,h(H
7.3 Romberg积分 Romberg求积方法是在积分区间逐次分 半的过程中利用外推法产生的一种数值积 分方法,当被积函数的光滑性条件满足时, 可以得到较精确的积分近似法. 7.3.1 Richardson外推法 外推法是一种精确度较低的近似公式组 合成精确度较高的近似公式的方法. 设 h≠0是任意数, F(h) 是关于步长h逼近 F*的近似公式,它们的误差估计式为 (1) * 2 3 1 2 3 F F h k h k h k h − = + + + ( ) ... ″
这里k1k2k3.是一组常数 按(1)式,称F(h)逼近F*的误差为O(h).把h 的幂次称为误差的阶例如,O(h2称为二阶误差, 等等 我们希望找到一种简便的方法用近似公式 F(-的组合得到误差阶较高的近似公式F(使 F(h)=k2h2+kh3+….(2) 此时,F(逼近F的误差为O(h2 类似地用F(组合产生逼近F的误差O(h3) 的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方 法
这里,k1,k2,k3…是一组常数. 按(1)式,称F(h)逼近F*的误差为O(h) .把h 的幂次称为误差的阶,例如, 称为二阶误差, 等等. 我们希望找到一种简便的方法,用近似公式 的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使 (2) 此时, 逼近F*的误差为 类似地,用 组合产生逼近F*的误差 的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方 法. * F 2 O h( ) F h( ) ~ F h( ) ~ * ' 2 ' 3 2 3 F F h k h k h − = + + ( ) ... ~ F h( ) 2 O h( ) ~ F h( ) 3 O h( )
把(1)式改写为 F=F(h)+kh+k2h2+k3h+、(3) 用h/2代替(3)式中的h得 hh F=F(=)+k+k2+k3+ 4 用2乘(4)式再减去(3)式消去含h的项得 h F=[F()+(F()-F(h)+k2(-h2)+k3(-h3) 2 2 2 令F(h)=F(h)且记 F2(h)=F1()+[F(=)-F1(h)
把(1)式改写为 (3) 用h/2代替(3)式中的h,得 (4) 用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h的项,得 (5) 令 ,且记 * 2 3 1 2 3 F F h k h k h k h = + + + + ( ) ... 2 3 * 1 2 3 ( ) ... 2 2 4 8 h h h h F F k k k = + + + + 2 3 * 2 3 2 3 [ ( ) ( ( ) ( ))] ( ) ( ) ... 2 2 2 2 h h h h F F F F h k h k h = + − + − + − + 1 F h F h ( ) ( ) = 2 1 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 2 h h F h F F F h = + −
那么(5)式可写为 F,(h)k,h=,h 4(6 这里,F2(h逼近F*的误差为O(h2) 再用h2代替h,使(6)式变为 F*=F/n)1 人h kh 32 用4乘(7式减去6)式消去含h的项得 h、F2(h/2)-F2(h P=[2(7)+ ]+kh3+ 2 8(8) 同样记 h、,F2(h/2)-F2(h F3(h)=F2()+ 2
那么(5)式可写为 (6) 这里, 逼近F*的误差为 再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为 (7) 用4乘(7)式减去(6)式,消去含 的项,得 (8) 同样记 * 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ... 2 4 F F h k h k h = − − − 2 F h( ) 2 O h( ) * 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ... 8 32 F F h k h k h = − − − 2 h * 3 2 2 2 3 ( / 2) ( ) 1 [ ( ) ] ... 2 3 8 h F h F h F F k h − = + + + 2 2 3 2 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2 3 h F h F h F h F − = +
(8)式可以写为 F=F(h)+-k,+ 这里(h逼近F*的误差为Oh3 还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过 程,可以得到误差为O(h的F(h) 一般地对k=2,3n,有逼近F*的误差为 O(h的递推公式 (h)=5 Fk1(h/2)-F=1(h 1(10 也称为关于步长h的外推公式 表7-1列出了k=2,3,4时按(10)式产生F(h) 的计算次序表中各列左边黑体数字表示序号
(8)式可以写为 (9) 这里 逼近 F*的误差为 还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过 程,可以得到误差为 的 一般地,对k=2,3,…,n,有逼近 F* 的误差为 的递推公式 (10) 也称为关于步长h的外推公式. 表7-1列出了k=2,3,4时,按(10)式产生 的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号. * 3 3 3 1 ( ) ... 8 F F h k h = + + 3 F h( ) 3 O h( ) 4 O h( ) 4 F h( ) ( ) k O h 1 1 1 1 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 k k k k k h F h F h F h F − − − − − = + − ( ) F h k
表7-1 O(h O(h) O(h) O(h) 1:F1(h)=F(h) 2:F1()=F()3:F2(h) 2 2 4:F1()=F(1)5:F2(=)6:F3(h) 4h8 4h-8 h 7:F1(n=F(=)8:F2()9 -)10:F4(h) 例1设f(x余项的差分公式为
表7-1 例1 设 带余项的差分公式为 O h( ) 2 O h( ) 3 O h( ) 4 O h( ) 1 1: ( ) ( ) F h F h = 1 2 2 : ( ) ( )3: ( ) 2 2 h h F F F h = 1 2 3 4 : ( ) ( )5: ( )6 : ( ) 4 4 2 h h h F F F F h = 1 2 3 4 7 : ( ) ( )8: ( )9 : ( )10 : ( ) 8 8 4 2 h h h h F F F F F h = ' 0 f x( )
f(x)=,[f(x+h)-f(x-h)f(x0) ch h 120 导出具有误差为O(h2的外推公式 解令 F1(h)=F(h)=,[f(x+h)-f(x0-h) ch 用h/2代替h,得 2 h f(x0)=F1()-f(x) f((x) 224 1920 (12) 为消去含h2的项用4乘(12)式减去(1)式得
(11) 导出具有误差为 的外推公式. 解 令 用 h/2代替h,得 (12) 为消去含 的项,用4乘(12)式减去(11)式,得 2 ' ''' 0 0 0 0 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 6 h f x f x h f x h f x h = + − − − 4 (5) 0 ( ) ... 120 h − − f x 2 ( )j O h 1 0 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 F h F h f x h f x h h = = + − − 2 4 ' ''' (5) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 24 1920 h h h f x F f x f x = − − − 2 h 2 h
(4) 3f(x)=4F()-F(h)+f (5) (x)+ 160 从而有 f()=F()+480(x)+(3) 这里 h、,F1(h/2)-F1(h) F2(h)=F1(=)+ 这时,F2(h逼近∫(x的误差为O(h4 重复用h2代替h并消去含h的项(=2,3,,j-1) (如h4,h5,到逼近f(x误差为O(硝 外推公式为
从而有 (13) 这里 这时, 逼近 的误差为 . 重复用h/2代替h并消去含 的项 ,得到逼近 的误差为 的 外推公式为 (4) ' (5) 0 1 1 0 3 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ... 2 160 h h f x F F h f x = − + + (4) ' (5) 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ... 480 h f x F h f x = + + 1 1 2 1 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2 3 h F h F h F h F − = + 2 F h( ) ' 0 f x( ) (4) O h( ) 2i h ( 2,3,..., 1) i j = − 4 6 ( , ,...) 如h h ' 0 f x( ) 2 ( )j O h
F(h)=,h、F1(h/2)-F(h) )+ 2.3.k 4--1 注意(14)式中第二项的分母为4-而不 是(10式中的2/-1这是由于(1)式中的余项 为关于h2的幂次而不是关于h的幂次 732 Romberg求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基 础,应用 Richardson外推法导出的数值求积方 法 回忆72.1节的复化梯形公式分别把积分区
注意(14)式中第二项的分母为 而不 是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项 为关于 的幂次而不是关于h的幂次. 7.3.2 Romberg求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基 础,应用Richardson外推法导出的数值求积方 法. 回忆7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区 1 1 1 1 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2,3,..., 2 4 1 j j j j j h F h F h F h F j k − − − − − = + = − 1 4 1 j− − 1 2 1 j− − 2 h
间[a,b]分为1,2,4等分的结果列入表7-2 表7-2 b-c 2′ 11 h=b-a [f(a)+f(b) 2 22 (b-a)3[fa)+/(b)+2/a+ h2=(b-a)"f(a)+f(b)+2/(a+h)+ f(a+2h3)+f(a+3h3)}
间[a，b]分为1,2,4等分的结果列入表7-2. 表7-2 k 1 1 2 2 3 4 1 2 k mk − = k k b a h m − = 1 h b a = − 2 1 ( ) 2 h b a = − 3 1 ( ) 4 h b a = − 1 [ ( ) ( )] 2 h f a f b + 2 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] 2 h f a f b f a h + + + 3 3 { ( ) ( ) 2[ ( ) 2 h f a f b f a h + + + + 3 3 f a h f a h ( 2 ) ( 3 )]} + + +