第二章 随机变量及其概率分布 §1随机变量 设,F,P是一概率空间,X(O)是定义在上的实 值函数,如果对任意实数x,有{oX(0)≤x}∈F, 则称X(O)是(2,F,P)上的一个随机变量。 由定义可知,随机变量首先是一个从S到R的映射,即 R定义还要求“对任意实数x,有OX()≤x∈F, 这就是所谓概率的可测性要求
§1 随机变量 由定义可知，随机变量首先是一个从 到R的映射，即 R X → () 定义还要求“对任意实数x，有 { | X () x} F, 这就是所谓概率的可测性要求。 。 设 是一概率空间， 是定义在 上的实 值函数，如果对任意实数x, 有 ， 则称 是 上的一个随机变量。 (,F, P) X () { | X () x} F X () (, F, P) 第二章 随机变量及其概率分布
随机变量的概念在概率论和数理统计中具有基本的 重要性,随机变量的引入,使对随机现象的研究规范化 和数量化,从而可以把数学分析的方法引入概率论。 在实际问题中广泛存在着随机变量。它通常被分成 两大类。如果X(O可能取的值是有限个或至多可列 个,则称X(O)为离散型随机变量;非离散型的范围 太广,其中最主要的也是实际问题中最常见的是连续 型随机变量
随机变量的概念在概率论和数理统计中具有基本的 重要性，随机变量的引入，使对随机现象的研究规范化 和数量化，从而可以把数学分析的方法引入概率论。 在实际问题中广泛存在着随机变量。它通常被分成 两大类。如果 可能取的值是有限个或至多可列 个，则称 为离散型随机变量；非离散型的范围 太广，其中最主要的也是实际问题中最常见的是连续 型随机变量。 X () X ()
§2离散型随机变量 。分布列 称P(X=xk),k=1,2…,(2.1) 为离散型随机变量的分布列。(分布列也能用表格 形式表示) 分布列中包含两个要素: (1)随机变量可取哪些值? (2)随机变量取这些值的概率。 因此,分布列能全面地反映随机变量X取值的概率分 布的情况。 分布列满足:(1)P≥0,k=1,2 (22) ∑P k=1
§2 离散型随机变量 一。分布列 分布列中包含两个要素： （1）随机变量可取哪些值？ （2）随机变量取这些值的概率。 因此，分布列能全面地反映随机变量X取值的概率分 称 （2.1） 为离散型随机变量的分布列。（分布列也能用表格 形式表示） P(X = x ), k =1,2,..., k 分布列满足： （1） P 0, k =1,2,...; k （2） 1. 1 = k = Pk （2.2） 布的情况
例1汽车碰到红灯的概率为P,要穿越四个十字路口才能 到达目的地,求汽车停车前通过信号灯个数的分布列。 解:设X={汽车停车前通过信号灯的个数}, A2={第个路囗遇红灯},=1,23,4 则P(X=0)=P(A1)=P P(X=1)=P(A1A2)=(1-p)P P(X=2)=P(A1A2A3)=(1-p)p P(X=3)=P(A1A2A3A4)=(1-p)p, (X=4)=P(A1A34)=(1-p) 注意:∑Pk=p+(1-p)p+…+(1-p)3=1
例1 汽车碰到红灯的概率为P，要穿越四个十字路口才能 到达目的地，求汽车停车前通过信号灯个数的分布列。 解： 设X={汽车停车前通过信号灯的个数}， Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3,4 则 ( 0) ( ) , P X = = P A1 = P ( 1) ( ) (1 ) , P X = = P A1 A2 = − p p ( 2) ( ) (1 ) , 2 P X = = P A1 A2 A3 = − p p 4 1 2 3 4 P(X = 4) = P(A A A A ) = (1− p) ( 3) ( ) (1 ) , 3 P X = = P A1 A2 A3 A4 = − p p 注意： = = + − + + − = 4 0 4 (1 ) ... (1 ) 1 k Pk p p p p
例2设盒中有2个白球,3个黑球,从中任取三个。 并令X为抽得的白球数,求X的分布列。 解:P(X=0)=C2C3/C3=1/10, P(X=1)=C2C3/C5=6/10 P(X=2)=C2CC3=3/10 通式为:P(X=k)=C2C3k/C3,k=0,2 2 注意:∑P=∑ ka3-k k=0 5k=0 白以上两例可见:古典概型是计算离散型 随机变量分布列的基础
例2 设盒中有2个白球，3个黑球，从中任取三个。 并令X为抽得的白球数，求X的分布列。 解： ( 0) / 1/10, 3 5 3 3 0 P X = = C2 C C = ( 1) / 6 /10, 3 5 2 3 1 P X = = C2 C C = ( 2) / 3/10, 3 5 1 3 2 P X = = C2 C C = ( ) / , 0,1,2 3 5 3 = = 2 3 = − P X k C C C k 通式为： k k 注意： 1 1 2 0 2 0 3 5 3 3 5 3 2 3 5 = = = = = − k k k k k C C C C C P 由以上两例可见：古典概型是计算离散型 随机变量分布列的基础
贝努里试验 有如下特点的试验称为贝努里试验(1)试 验可独立重复地进行;(2)每次试验都只有 两种可能的结果,A发生或A不发生。 重复地抛掷硬币,观察每次结果是出现正面还 是反面;放回抽样,观察每次抽得的产品是正品 还是次品;同一射手一次一次地射击,观察每次 射击的结果是中靶还是脱靶等都是贝努里试验。 不放回抽样,观察每次结果是出现正面还是 反面;掷骰子,观察每次投掷出现的点数等等 都不是贝努里试验。 贝努里试验进行了n次,称为n重贝努里试验
二。贝努里试验 有如下特点的试验称为贝努里试验（1）试 验可独立重复地进行；（2）每次试验都只有 两种可能的结果，A发生或A不发生。 重复地抛掷硬币，观察每次结果是出现正面还 是反面；放回抽样，观察每次抽得的产品是正品 还是次品；同一射手一次一次地射击，观察每次 射击的结果是中靶还是脱靶等都是贝努里试验。 不放回抽样，观察每次结果是出现正面还是 反面；掷骰子，观察每次投掷出现的点数等等 都不是贝努里试验。 贝努里试验进行了n次，称为n重贝努里试验
三。几种常用的离散型分布 (-)二项分布B(n,p) 在贝努里试验中,如果每次试验事件A发生的概率为P,即 P(A)=p,0<p<1,q=1-p 并设随机变量X表示在n次试验中事件A发生的次数, 则称X服从二项分布,记作X~B(H,p),其分布列为: P{X=}=Cnp^(1-p)”,k=0,12…,n(23) 特别,当n=时,X~B(1,p) 称X服从两点分布,其分布列为: P(X=k)=p(1-p),k=0,1(2.4
三。几种常用的离散型分布 （一）二项分布 B(n, p) 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为P，即 P(A) = p,0 p 1,q =1− p 并设随机变量X表示在n次试验中事件A发生的次数, B(1, p) ，其分布列为： P X k C p p k n k k n k n { = } = (1− ) , = 0,1,..., − （2.3） 特别，当n=1时，X~ 称X服从两点分布，其分布列为： ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X k p p k k k B(n, p) （2.4） 则称X服从二项分布，记作X~
用二项分布的模型可以计算与该模型有关的 概率问题。 例3某种电灯泡使用时数在1500小时的概率为 02,求三个这种灯泡在使用1500小时后最多只有 一个损坏的概率。 解:设X=灯泡使用1500小时后损坏的个数,则 P(X=0∪X=1)=P(X=0)+P(X=1) C20.8023+C20.80231=0.104
用二项分布的模型可以计算与该模型有关的 概率问题。 例3 某种电灯泡使用时数在1500小时的概率为 解： 设X=灯泡使用1500小时后损坏的个数，则 P(X = 0 X =1) = P(X = 0) + P(X =1) 0.8 0.2 0.8 0.2 0.104 1 1 3 1 3 0 0 3 = 3 + = − C C 0.2，求三个这种灯泡在使用1500小时后最多只有 一个损坏的概率
例4抛掷五枚分币,问:在至少出现两个正面 的条件下,正面数刚好是三个的概率是多少? 解:设X抛郑五枚分币出现正面的个数, A=至少出现两个正面,B=正面数刚好是三个。 则P(B/A)、P(AB)B(B) (A P(A) P(X=3) ∑P(X=k) =C3()()3∑c()()=5/13 2
解： 设X=抛掷五枚分币出现正面的个数， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) P A P B P A P AB P B A = = = = = = 5 2 ( ) ( 3) k P X k P X = 5/13 例4 抛掷五枚分币，问：在至少出现两个正面 的条件下，正面数刚好是三个的概率是多少？ A=至少出现两个正面，B=正面数刚好是三个。 k k k k C C − = − = 5 5 2 5 3 3 5 3 5 ) 2 1 ) ( 2 1 ) / ( 2 1 ) ( 2 1 (
(=)几何分布G(P) 在贝努里试验中,如果每次试验事件A发生的概率为P,即 P(A)=p,0<p<1,q=1-p 并设随机变量X事件A首次发生的试验次数, 则称X服从几何分布,记作X~G(p), 其分布列为: P{X=k}=(1-p)p,k=1,2,…(2.5)
（二） 几何分布 G( p) 其分布列为： { } (1 ) , 1,2,... 1 = = − = − P X k p p k k （2.5） 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为P，即 P(A) = p,0 p 1,q =1− p 并设随机变量 X 事件A首次发生的试验次数， 则称 X 服从几何分布，记作 X ~ G( p)