第三章导数与微分 第一节导数的概念 第二节求导法则 第三节微分及其在近似计算中的应用
第三章 导数与微分 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用 第一节 导数的概念
第一节导数的概念 、两个实例 二、导数的概念 、可导与连续 四、求导举例
一、两个实例 二、导数的概念 三、可导与连续 第一节 导数的概念 四、求导举例
第一节导数的概念 两个实例 1.变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动,其路程函数为s=s(), 求该物体在时刻的瞬时速度.设在t时刻物体的位置 为s(t).当经过t+△时刻获得增量△t时,物体的位 置函数s相应地有增量△s=s(0+△)-s(t0)(如下图) s(to) s(to 于是比值 (0+△)-s(t) △t
第一节 导数的概念 1 .变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 0 t 时刻的瞬时速度.设在 0 t 时刻物体的位置 为 s( 0 t ).当经过 0 t + Δt时刻获得增量 Δt时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 ( ) ( ), 0 0 s = s t + t − s t （如下图） 于是比值 ( ) ( ) , 0 0 t s t t s t t s + − = O s(t0 ) s(t0 +t) s 一、两个实例
就是物体在t到a+△这段时间内的平均速度,记作v, △ss(o+△)-s(to) △t很小时,v可作为物体在t时刻的瞬时速度 的近似值.且△越小,v就越接近物体在t时刻的瞬 时速度,即 v(to)=lim v=lim=lim s(t+△)-s() △t→>0 A→>0△t△r->0 △t 就是说,物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限
就是物体在 0 t 到 0 t +Δt这段时间内的平均速度,记作 v， ( ) ( ) . 0 0 t s t t s t t s v + − = 即 = 当 Δ t 很小时，v可作为物体在 0 t 时刻的瞬时速度 的近似值. 且 Δ t 越小，v就越接近物体在 0 t 时刻的瞬 时速度，即 ( ) ( ) ( ) lim lim lim . 0 0 0 0 0 0 t s t t s t t s v t v t t t + − = = = → → → 就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限
2.平面曲线的切线斜率 平面曲线的切线几何演示 在曲线L上点M附近,再取一y y=f() 点M,作割线MM,当点M沿曲 M 线L移动而趋向于M0时,割线 N M0M的极限位置M0就定义为曲 A B 线L在点M处的切线 设函数y=f(x)的图像为曲线L(如上图), M0(x0,f(x0)和M(x,f(x)为曲线L上的两点,它们到x 轴的垂足分别为A和B,作M0N垂直BM并交BM于N 则 N=△x=x-x0 NM=△y=f(x)-f(x0)
2 .平面曲线的切线斜率 设函数 y = f (x)的图像为曲线 L（如上图）， 0 0 0 M x f x ( , ( ))和 M x f x ( , ( ))为曲线 L 上的两点，它们到 x 轴的垂足分别为 A 和 B,作M N0 垂直BM 并交 BM 于 N， 则 0 Δ 0 M N = x = x − x , Δ ( ) ( ) 0 NM = y = f x − f x . A B T L N M o y x y = f(x) M0 在曲线 L 上点M0附近，再取一 点M ,作割线M M0 ，当点 M 沿曲 线 L 移动而趋向于 M0时，割线 M M0 的极限位置M T0 就定义为曲 线 L 在点 M0处的切线. 平面曲线的切线几何演示
而比值 Ay f(x)-f(xo) f(=o+Ax)-f(xo) 便是割线M0M的斜率tanq,当Ax→>0时,M沿曲线 L趋于M0,从而我们得到切线的斜率 tan a= lim tan = lim Ay= lim +Ax)-f(xo) x→>0△△x→>0 由此可见,曲线y=f(x)在点M处的纵坐标y的增量 △y与横坐标x的增量Δx之比,当△x→>0时的极限即为 曲线在M点处的切线斜率
便是割线M M0 的斜率tan，当Δx → 0时, M 沿曲线 L 趋于M0，从而我们得到切线的斜率 ( 0 0 ) Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ Δ ( ) tan lim tan lim lim x x x Δ Δ y f x x f x x x → → → + − = = = . 由此可见，曲线y = f (x)在点M0处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标 x的增量Δx之比，当x → 0时的极限即为 曲线在M0点处的切线斜率. ( ) ( 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 Δ Δ , Δ Δ y f x f x f x x f x x x x x − + − = = − 而比值
二、导数的概念 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自 变量x在x处有增量△x(△x≠0,x+△x仍在该邻域内)时, 相应地函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果△y与 △x之比当△x→0时,极限 lim lim f(x0+△x)-f(x0) △x→ △ △x->0 x 存在,那么这个极限值称为函数y=f(x)在点x的导数 并且说,函数y=f(x)在点x处可导,记作f(x0)
设函数y = f (x)在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自 变量 x在 0 x 处有增量Δ (Δ 0, Δ 0 x x x x + 仍在该邻域内)时， 相应地函数有增量Δ ( Δ ) ( ) 0 0 y f x x f x = + − ，如果 Δy 与 Δ x 之比 Δ Δ y x 当Δ 0 x → 时，极限 1.导数的定义 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x → → x x + − = 存在，那么这个极限值称为函数 y = f (x)在点 0 x 的导数. 并且说，函数 y = f (x)在点 0 x 处可导，记作 ( ) 0 f x ， 二、导数的概念
df(x d 也记为yx=xnd=d=x 即f(x)=lm2y=i f(x0+△x)-f(x0) m △x->0△x △x->0 △x 如果极限不存在,我们说函数y=f(x)在点 x处不可导 如果固定x,令xn+△x=x,则当△x→>0时, 有x→>x,故函数在x处的导数f(x0)也可表为 f(xo)=lim f(x)-f(x0) x→)x X-
也记为 0 y' x = x ， 0 d d ( ) x x x f x = 或 0 d d x x x y = ， 即 0 0 0 0 0 Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x f x → → x x + − = = . 如果极限不存在，我们说函数 y = f (x)在点 0 x 处不可导. 如果固定 0 x ，令x x 0 + Δ =x，则当Δ 0 x → 时， 有 0 x → x ，故函数在 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 也可表为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = →
2.左、右导数 极限t△y=m<(xn+△x)-f(xo △x-)0-△x△x→0 △ △ lim f(x0+△x)-f(x0) △x △x 分别叫做函数f(x)在点x处的左导数和右导数, 且分别记为f(x0)和f(x0) 定理函数y=f(x)在点x的左、右导数存 在且相等是f(x)在点x0处可导的充分必要条件
极限 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x x x → → − − + − = ； 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x x x → → + + + − = . 分别叫做函数 f (x)在点 0 x 处的左导数和右导数， 且分别记为 ( ) 0 f x − 和 ( ) 0 f x + . 定理 函数y = f (x)在点 0 x 的左、右导数存 在且相等是 f (x)在点 0 x 处可导的充分必要条件. 2．左、右导数
如果函数y=f(x)在区间a,b)内每一点都可导, 称y=f(x)在区间(a,b)内可导 如果f(x)在(a,b)内可导,那么对应于(a,b)中的 每一个确定的x值,对应着一个确定的导数值f(x), 这样就确定了一个新的函数,此函数称为函数 y=f(x)的导函数 记作f∫(x),y dy df(x) 在不致发生混淆的情 dx dx 况下,导函数也简称为导数
如果函数y = f (x)在区间(a,b) 内每一点都可导， 称y = f (x)在区间(a,b)内可导. 如果 f (x)在(a,b)内可导，那么对应于(a,b) 中的 每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值 f (x)， 这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数 y = f (x)的导函数. 记作 f (x)，y, x y d d , x f x d d ( ) ，在不致发生混淆的情 况下，导函数也简称为导数