数理统计 第二节样本及抽样分布 统计量与经验分布函数 统计三大抽样分布 几个重要的抽样分布定理 课堂练习 小结布置作业
数理统计 第二节 样本及抽样分布 统计量与经验分布函数 统计三大抽样分布 几个重要的抽样分布定理 课堂练习 小结 布置作业
数理统计 统计量与经验分布函数 1.统计量 由样本值去推断总体情况,需要对样本值进 行“加工”,这就要构造一些样本的函数,它把 样本中所含的(某一方面)的信息集中起来 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量.它是完全由样本决定的量
数理统计 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进 行“加工” ，这就要构造一些样本的函数，它把 样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 1. 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量. 一、统计量与经验分布函数
数理统计 定义设X1,X2,…,X是来自总体X的一个样本 g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,X的函数,若g 中不含未知参数,则g(X1,X2,…,Xn)称是 个统计量 请注意: 设X1,X2,…X,是来自总体X的一个样本 是一个样本的观察值,则g(x,x2,…xn)也是分 计量g(X1,X2,…Xn)的观察值
数理统计 定义 . ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 个统计量 中不含未知参数，则 称是一 是 的函数，若 设 是来自总体 的一个样本， n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X 请注意 : (X , , ) . , ( , , ) X , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计量 的观察值 是一个样本的观察值 则 也是统 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X x g x x x X X X x x
数理统计 几个常见统计量 它反映了 样本平均值X 总体均值 的信息 样本方差 n-/之(8 它反映了总体 X2-nX 方差的信息 n 样本标准差S ∑(X;-X n-1a1
数理统计 几个常见统计量 样本平均值 = = n i Xi n X 1 1 它反映了 总体均值 的信息 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 它反映了总体 方差的信息 − − = = n i Xi nX n 1 2 2 1 1 样本标准差 − − = = n i Xi X n S 1 2 ( ) 1 1
数理统计 样本k阶原点矩 ∑Xk=1,2, 它反映了总体k k n i= 阶矩的信息 样本阶中心矩 B 它反映了总体k阶 k X2-X) 中心矩的信息
数理统计 = = n i k k Xi n A 1 1 它反映了总体k 阶矩的信息 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 = = − n i k k Xi X n B 1 ( ) 1 k=1,2,… 它反映了总体k 阶 中心矩的信息
数理统计 统计量的观察值 : ∑(x;-x)2 n i=1 n ∑(x1-x)2;ak ∑xk=1,2, n b, ∑(x1-x)k=1,2 n-1
数理统计 统计量的观察值 ( ) 1,2, 1 1 1,2, 1 ( ) ; 1 1 ( ) 1 1 ; 1 1 1 1 2 1 2 1 2 − = − = − = = − = − − = = = = = = = x x k n b x k n x x n s x x n x s n x n i k k i n i k k i n i i n i i n i i
数理统计 请注意: 若总体X的阶矩E(X)=存在,则当n→∞0时, ∑X;-k=1, ni=l 事实上由X1,X2,…,X独立且与X同分布, 有X1,X2,…,X独立且与X同分布,E(X4)= k=1,2,…,n再由辛钦大数定律可得上述结论 再由依概率收敛性质知,可将上述性质推广为 g(A1,A2,,A)->g(1,2,…,k) 其中g为连续函数 这就是矩估计法的理论根据
数理统计 请注意 : 1,2, . 1 ( ) 1 = ⎯→ = = → = X k n AX k E X n p k ni k k i 若总体 的 阶矩 k k存在，则当 时， . ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 其中 为连续函数 再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为 gg A A A g k p k ⎯→ 这就是矩估计法的理论根据. 1,2, , . , , , , ( ) , , , 1 2 1 2 再由辛钦大数定律可得上述结论 有 独立且与 同分布 事实上 由 独立且与 同分布， k n X X X X E X X X X X k k i k k n k k n = =
数理统计 2.经验分布函数 设X1,X2,…,X是总体F的一个样本,用(x)x<o 表示x1,x2,…,x中不大于x的随机变量的个数 定义经验分布函数为 Fn(x)=-s(x)-0<x<0 n 例设总体F具有一个样本值1,1,2,则经验分布函数 F3(x)的观察值为 若x<1 2 F(x)={2,若1≤x<2 3 若x≥2
数理统计 2. 经验分布函数 , , , . , , , ( ) 1 21 2 表示 中不大于 的随机变量的个数 设 是总体 的一个样本，用 x x x x X X X F s x x n n = s x − x n Fn x ( ) 1 ( ) 定义 经验分布函数为 = 1, 2 , 1 2 320, 1 ( ) ( ) 1 1 2 3 3 xxx F x F x F 若 若 若 的观察值为 例 设总体 具有一个样本值 ，，，则经验分布函数
数理统计 一般,设x1,x2,…,x,是总体的一个容量为m的样本 值将它们按大小次序排列如下:x≤x2)≤…≤x(m) 则经验分布函数F(x)的观察值为 0. 若 x<x (1) F,(x) 若xk)≤x<x(k+1,(k=12,…,n-1) n 若x≥ 请看演示经验分布函数
数理统计 ( 1,2, , 1) 1, , , 0, ( ) ( ) . , , , ( ) ( ) ( 1) (1) (1) (2) ( ) 1 2 = − = + k n x x x x x n k x x F x F x x x x x x x n n n k k n n n 若 若 若 则经验分布函数 的观察值为 值 将它们按大小次序排列如下： 一般，设 是总体的一个容量为 的样本 请看演示 经验分布函数
数理统计 二、统计三大抽样分布 1、x-分布 分布是由正态分布派生出来的一种分布 定义:设X12X2,…,n相互独立,都服从正态分布 N(0,1),则称随机变量 x2=X12+X2+…+Xn 所服从的分布为自由度为n的X分布 记为x2~x2(m) 请看演示x2分布
数理统计 二、统计三大抽样分布 ~ ( ) 2 2 记为 n 2 1、 分布 定义: 设 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布. X X Xn , , , 1 2 2 2 2 2 1 2 = X + X ++ Xn 2 2 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 请看演示 2 分布