第十三章数值计算初步 第一节误差与方程求根 第二节拉格朗日插值公式 第三节曲线拟和的最小二乘法 第四节数值积分 第五节常微分方程的数值解法 冈凶
* 第十三章 数值计算初步 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第五节 常微分方程的数值解法
第一节误差与方程求根 误差 二、方程求根 冈凶
一、误差 二、方程求根 第一节 误差与方程求根
第一节误差与方程求根 、误差 1.绝对误差与相对误差 设x为准确数x的近似值,我们称e(x*)=x*-x为近似数x 的绝对误差,简称误差由于一般无法得到准确值x,因此绝对误差 e(x)也无法直接算出,如果能估计其绝对值的范围 e(x*)=x*-x≤E 则称为近似数x*的绝对误差限,简称误差限. 有了绝对误差限就可以知道准确值x的范围: x-x<x≤x+x 冈凶
第一节 误差与方程求根 1.绝对误差与相对误差 设 * x 为准确数 x的近似值，我们称 e(x*) = x*−x为近似数 * x 的绝对误差，简称误差.由于一般无法得到准确值 x，因此绝对误差 ( ) * e x 也无法直接算出，如果能估计其绝对值的范围 e(x*) = x*−x . 则称 为近似数x*的绝对误差限，简称误差限. 有了绝对误差限就可以知道准确值 x的范围: x − x x x +x. 一、误差
即x落在闭区间[x-E,x+E]上,在应用上,常采用如下写 法来刻画x的精度 x=x±E 绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度,例如 x=10±1 y=1000±5 虽然x的绝对误差限比y的绝对误差限小,但1000作为 的近似值要比10作为x的近似值要好,为了清楚的描述这一现象, 我们引进 并称r(x)为近似数x的相对误差 冈凶
即x落在闭区间[ , ] * * x − x + 上，在应用上，常采用如下写 法来刻画 * x 的精度 . * x = x 绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度，例如 x =10 1 y =1000 5 虽然 x的绝对误差限比 y 的绝对误差限小，但 1 000 作为 y 的近似值要比 10 作为 x的近似值要好，为了清楚的描述这一现象， 我们引进 , ( ) ( ) * * * * * x x x x e x r x − = = 并称 ( ) * r x 为近似数 * x 的相对误差
显然,r(x)的准确值也无法直接得到,如果我们知道 X r(x 则称为近似数x的相对误差限 若E为x*的绝对误差限,则 前面提到的x=10±1的近似值x=10的相对误差限为 10%,而y=1000±5的近似值y=1000的相对误差限是0.5%, 由此可见,相对误差限愈小,近似程度愈高 冈凶
显然, ( ) * r x 的准确值也无法直接得到，如果我们知道 , ( ) ( ) * * * = x e x r x 则称 r 为近似数 * x 的相对误差限． 若 为 x 的绝对误差限，则 * x r = 前面提到的 x =10 1的近似值 10 * x = 的相对误差限为 10%，而 y =1000±5 的近似值 1000 * y = 的相对误差限是 0.5%， 由此可见，相对误差限愈小，近似程度愈高
2.有效数字 定义(有效数字)若近似值x的误差限是某一数位的 半个单位,且该位到x的左边第一位非零数字共有n位,则称 x有n位有效数字 例1按四舍五入的原则写出下列各数具有5位有效数字的近 似值.187.9325,0.0378551,8.0003,2.71828 解按定义,上述各数具有5位有效数字的近似值分别为: 187.93,0.037855,8.000,2.7183. 按有效数字的定义,近似数的最后一个有效数位确实能反映其 绝对误差的大小,并且可以证明:有效数字位数越多,相对误差限 越小 冈凶
2．有效数字 定义 （有效数字） 若近似值 * x 的误差限是某一数位的 半个单位，且该位到 * x 的左边第一位非零数字共有 n 位,则称 * x 有 n 位有效数字. 例 1 按四舍五入的原则写出下列各数具有 5 位有效数字的近 似值.187.932 5，0.037 855 1，8.000 033，2.718 28 解 按定义，上述各数具有 5 位有效数字的近似值分别为： 187.93，0.037 855，8.000 ，2.718 3. 按有效数字的定义，近似数的最后一个有效数位确实能反映其 绝对误差的大小，并且可以证明：有效数字位数越多，相对误差限 越小
3.数值运算的误差估计 设函数u=f(x1,x2,…,xn)如果自变量x1,x2 的某组值x1,x2,…,xn的近似值分别为x1,x2, 则函数 l的近似值n=f(x1,x2…,x),且u的误差 e()=-=f(x1,x2…,xn)-f(x1,x2…,xn) of d k 即e()≈∑ k k=1 从而,u的误差限为 ()≈∑ of' &(x k 冈凶
3. 数值运算的误差估计 设函数 ( , , 1 2 u = f x x … , ), n x 如果自变量 , , 1 2 x x … n , x 的某组值 , , 1 2 x x … n , x 的近似值分别为 , , * 2 * 1 x x … * , n x ，则函数 u 的近似值 u = f * ( , , * 2 * 1 x x … , ) * n x ，且 * u 的误差 ( ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 * * 2 * 1 * * n n e u = u −u = f x x x − f x x x d ( ). * 1 * * * x x k k n k k x x x x x x x x f u k k k k k k k − − = = = = = − ( ) ( ), * 1 * x x * k n k k e x x f e u k k = = 即 从而, * u 的误差限为 ( ) ( ). * 1 * * k x x n k k x x f u k k = =
L的相对误差限为 8lu k-i u ox 例2已测得某场地长1的近似值为1=110m,宽 d的近似值为d=80m,已知 -1≤0.2m,d-d≤0.1m 试求面积A=l的绝对误差与相对误差限 解 A=ld OA 0A ad 冈凶
* u 的相对误差限为 . ( ) ( ) 1 * * * * * k k k x x n k k r x f u x u u = = = 例 2 已测得某场地长 l 的近似值为 * l =110 m ，宽 d 的近似值为 * d =80 m，已知 l −l * ≤0.2 m , d − d * ≤0.1 m . 试求面积 A = ld 的绝对误差与相对误差限. 解 A = ld l d A d l A = =
E(A)≈de()+le(a) =80×0.2+110×0.1 27(m E(A 27 0.031 100×80 4.数值运算应注意的若干原则 个实际的计算问题,其数值运算次数以千万次计,我们不 可能对其每步计算都进行误差分析,因此,在设计算法时要特别 注意误差的积累.具体地说要注意如下几点 冈凶
( ) ( ) ( ) * * * A d l +l d =80×0.2+110×0.1 =27 ( ) 2 m 0.031. 100 80 ( ) 27 * * = = A A r 4. 数值运算应注意的若干原则 一个实际的计算问题，其数值运算次数以千万次计，我们不 可能对其每步计算都进行误差分析，因此，在设计算法时要特别 注意误差的积累.具体地说要注意如下几点：
(1)要尽量减少运算次数,以减少舍入误差的积累; (2)要尽量避免两相近数相减,以防有效数字的严重损失而影 响精度; (3)要尽量避免使用“小分母”,以防运算结果过大而造成溢出; (4)要防止大数“吃掉”小数现象例如,在五位计算机上计算 000 A=52492+0.9 k=1 把运算写成规格化形式 1000 A=0.52492×103+ ∑ 0.000009×10 =0.52492×103+0.000009×103+……+0.000009×10 0.52492×10 冈凶
⑴要尽量减少运算次数，以减少舍入误差的积累； ⑵要尽量避免两相近数相减，以防有效数字的严重损失而影 响精度； ⑶要尽量避免使用“小分母”，以防运算结果过大而造成溢出； ⑷要防止大数“吃掉”小数现象.例如，在五位计算机上计算 52492 0.9. 1000 1 = = + k A 把运算写成规格化形式 = = + 1000 1 5 5 0.52492 10 0.000 009 10 k A 5 5 5 = 0.5249210 + 0.00000910 ++ 0.00000910 5 = 0.5249210