第十二章级数 第一节数项级数及其敛散性 第二节幂级数 第三节傅里叶级数 冈凶
第二节 幂 级 数 *第三节 傅里叶级数 第一节 数项级数及其敛散性 第十二章 级 数
第一节数项级数及其敛散性 、数项级数及其性质 二、正项级数及其敛散性 三、交错级数及其敛散性 四、绝对收敛与条件收敛 冈凶
一、 数项级数及其性质 二、 正项级数及其敛散性 三、 交错级数及其敛散性 四、 绝对收敛与条件收敛 第一节 数项级数及其敛散性
、数项级数及其性质 1.数项级数的概念 定义1设给定一个数列412…,un,…,则 式子∑un=1+2+l3+…+n+ ●●自 称为常数项无穷级数,简称数项级数,其中第n项 u,称为一般项或通项 例①算术级数 a1+(a2+d)+(a1+2d)+…+(a1+(n-1)d)+… ②等比级数(几何级数) a1+a1g+a+…+a1q+…, 冈凶
1. 数项级数的概念 定义 1 设给定一个数列 , 1, 2 u u … , n u ，…，则 式 子 + + + = 3 1 1 2 u u u u n n＝ …+ n u +… 称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第 n 项 n u 称为一般项或通项． 例 ① 算术级数 a1 + (a2 + d) + (a1 + 2d) +…＋（a1 + (n −1)d) + … ② 等比级数（几何级数） + + + 2 a1 a1 q a1 q …+ 1 1 n− a q +… ， 一、数项级数及其性质
③p-级数 1+-+—+ P 3 定义2设级数∑n的前n项之和为 Sn=1+l2+…+n=∑4称Sn为级数∑un的 前n项部分和.当n依次取1,2,3;…时,得到一个新 的数列 +u L1+l2 数列{Sn}称为级数∑un的部分和数列 冈凶
③ p-级 数 = = + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 n p p p p n n … . 定义２ 设 级 数 n=1 un 的 前 n 项之和为 1 2 1 n n n k k S u u u u = = + + + = 称 n S 为级数 n=1 n u 的 前 n项部分和.当n依次取1,2,3,时，得到一个新 的数列 1 1 S = u , 2 1 2 S = u + u ,, Sn = u1 + u2 ++ un , 数 列Sn称为级数 n=1 un的部分和数列
若此数列的极限存在,即limS,=S(常数),则称 S为级数∑un的和,记作∑1=S此时称级数∑n收 敛如果数列{S}没有极限,则称级数∑n发散,这时 级数没有和 当级数收敛时,其部分和S是级数S的近似值, 称S-S为级数的余项,记作n,即 冈凶
若此数列的极限存在，即 S S n n = → lim (常 数)，则称 S 为级数 n=1 un 的和，记作 = = n 1 n u S 此时称级数 n=1 un 收 敛.如果数列{Sn }没有极限，则称级数 n=1 un 发散，这时 级数没有和. 当级数收敛时，其部分和 Sn是级数 S 的近似值， 称 n S − S 为级数的余项，记作 n r ，即 rn = S − Sn = un+1 + un+2 +
例1考察级数∑n的敛散性 解注意到 n+1 In(n+1)-Inn Sn=u,+u2+.+u=(In2-In1)+(In3-In2)+ +(n(n+1)-lnn)=ln(n+1) 所以 lim S,=lim In(n+1)=+o, n→00 由定义级数∑n+是发散的 冈凶
(ln( 1) ln ) ln( 1) (ln 2 ln1) (ln3 ln 2) 1 2 + + − = + = + + + = − + − + n n n Sn u u un ， 所以 = + = + → → lim S limln(n 1) n n n ， 由定义级数 = + 1 1 ln n n n 是发散的. 解 注意到 n n n n un ln( 1) ln 1 ln = + − + = 例 1 考察级数 = + 1 1 ln n n n 的敛散性
例2考察级数1+2+4+8+…+2n1+…的敛散性 解这是公比为2的几何级数,S 所以lmSn=lim(2”-1)=+∞0,级数是发散的 n→) n→)∞0 例3考察级数∑(-1)”的敛散性 n=1 解这是公比为-1的几何级数,即 1-1+1-1+1 它的部分和数列是1,0,1,0,…,显然limS不存 在,所以级数是发散的 冈凶
所以 = − = + → → lim lim(2 1) n n n n S ，级数是发散的. 例 3 考察级数 = − − 1 1 ( 1) n n 的敛散性. 解 这是公比为-1 的几何级数，即 1−1+1−1+1 它的部分和数列是 1,0,1,0,…，显然 n n S → lim 不存 在,所以级数是发散的. 例 2 考察级数 + + + ++ + −1 1 2 4 8 2 n 的敛散性. 解 这是公比为 2 的几何级数， 2 1 2 1 − − = n n S
例4把循环小数0.36化为分数 解把0.36化为无穷级数 0.36= 363636 36 10010021003100 这是公比为的几何级数,由等比数列求和公式 100 36 00 所以 36 36 (1 lim s=lim 100 10036 n→)0 n→0 100 这个无穷级数的和为,即0.36 4 冈凶
• • 0.36 = + + + n + 100 36 100 36 100 36 100 36 2 3 ， 这是公比为100 1 的几何级数,由等比数列求和公式 100 1 1 ) 100 1 (1 100 36 − − = n Sn 所 以 11 4 99 36 100 1 1 100 36 100 1 1 ) 100 1 (1 100 36 lim lim = = − = − − = → → n n n n S ， 这个无穷级数的和为11 4 ,即 • • 0.36 11 4 = . 解 把 • • 0.36化为无穷级数 例 4 把循环小数 • • 0.36化为分数
2.数项级数的基本性质 性质1级数∑ln与级数∑kn(常数k≠0 敛散性相同,且若∑n收敛于S,则∑n收敛 于kS 性质2若级数∑n与∑vn分别收敛于B 与a,则级数∑(n+)收敛于B+a n- 性质3添加、去掉或改变级数的有限项,级数的 敛散性不变 冈
2. 数项级数的基本性质 性质 1 级数 n=1 un与级数 n=1 n ku (常数 k 0) 敛散性相同,且 若 n=1 un收敛于 S ,则 n=1 n ku 收 敛 于kS . 性质 2 若级数 n=1 un与 n=1 n v 分别收敛于 β 与 α ,则级数 = + 1 ( ) n n n u v 收敛于 β + α. 性 质 3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的 敛散性不变
性质4(两边夹定理)如果un≤w≤n,且 ∑un和∑wn都收敛,则∑v也收敛 性质5(级数收敛的必要条件)若级数∑un收 敛,则 lim u,=0. n→)00 证设lmun,=S,由于u 所以 n→00 limu,=lim(S-S=lim S,-lim S=S-S=0 n→00 例6判别级数∑ (-1)n 的敛散性 n=1 2n+1 解由于im(1)"n 不存在,由性质5可知此级数 2n+1 是发散的 冈凶
性 质 4 (两边夹定理) 如 果 n u ≤ n v ≤ wn ,且 n=1 n u 和 n=1 wn都收敛,则 n=1 n v 也收敛. 性 质 5 (级数收敛的必要条件) 若级数 n=1 un收 敛,则lim = 0. → n n u 证 设 un S n = → lim ,由 于un = Sn − Sn−1,所 以 lim = lim( − 1 ) = lim − lim −1 = − = 0 → → − → → u S S S Sn S S n n n n n n n n . 例 6 判别级数 = + − 1 2 1 ( 1) n n n n的敛散性. 解 由 于 2 1 ( 1) lim + − → n n n n 不存在,由性质 5 可知此级数 是发散的