←概率论 第二节中心极限定理 ⑤中心极限定理 ●例题 课堂练习 小结布置作业
概率论 第二节 中心极限定理 中心极限定理 例题 课堂练习 小结 布置作业
←概率论 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合(或和)影响所形成的 例如:炮弹射击的 落点与目标的偏差 就受着许多随机因翻调 素(如瞄准,空气 阻力,炮弹或炮身结构等)综合影响的每个随机因 素的对弹着点(随机变量和)所起的作用都是很小 的那么弹着点服从怎样分布哪?
概率论 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？
←概率论 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后,人们发现,正态分布在 高斯 自然界中极为常见 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成,而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题 当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢?
概率论 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
←概率论 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞,故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 机变量即考虑随机变量X(k=1,…n)的和∑Xk ∑Xk-E(∑X) y k=1 D(∑X) 讨论Y的极限分布是否为标粗态分布 在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理
概率论 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 机变量. − = = = = n k k n k n k k k n D X X E X Y 1 1 1 ( ) ( ) 讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理. = = n k Xk k n Xk 1 即考虑随机变量 ( 1, )的和
←概率论 、中心极限定理 定理1(独立同分布下的中心极限定理) 设随机变量X1,X2Xn,…相互独立,服从同一分 布,且具有数学期望和方差:E(X)=2D(XA)=a2 (k=1,2,…则随机变量之和∑X的标准化变量 k=1 ∑Xk-n 的分布函数Fn(x)对于任意满足 o ∑X1-n lim F,(x)=lim P=l n→) n→ 5√n ∫--e2dt=(x)
概率论 一、中心极限定理 − = = → → x n X n F x P n i i n n n 1 lim ( ) lim 定理1（独立同分布下的中心极限定理） ，则随机变量之和 布，且具有数学期望和方差 设随机变量 相互独立，服从同一分 ( 1,2, ) : ( ) , ( ) , , , 2 1 2 = = = k E X D X X X X k k n n X n Y n k k n − = =1 的分布函数Fn (x)对于任意x满足 的标准化变量 = n k Xk 1 = x - -t 2 e dt 2 1 2 = (x)
概率论 注1、定理表明,独立同分布的随机变量之和∑Xk, =1 当n充分大时,随机变量之和与其标准化变量分别有 近似地 ∑X ∑Xk~N(n,nG2); 可k-1近似地 N(0,1 =1 2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为 近似地 X~N(y1,02mn)或 X-近似地 N(0,1) 其中X=∑Xk n k=l 3、虽然在一般情况下,我们很难求出∑Xk的分 k=1 布的确切形式,但当n很大时,可以求出近似分布
概率论 注 ~ ( , ) ; ~ (0,1). 1 , 2 1 1 1 N n X n X N n n n X n k n k k k n k k 近似地 近似地 当 充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有 、定理表明，独立同分布的随机变量之和 − = = = ~ ( , ) ~ (0,1) 2 2 N n X X N n 近似地 近似地 或 、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为 − = = n k Xk n X 1 1 其中 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. = n k Xk 1
←概率论 定理2(李雅普诺夫( Liapounov)定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具 有数学期望和方差: E(XK=uk, D(X=Ok, (K=1, 2, .) 记 Bn=∑ok k=1 若存在正数δ,使得当n→∞时, 2+6 2+6∑E1Xk- 0 则随机变量之和∑X的标准化变量: k=1
概率论 定理2（李雅普诺夫(Liapounov)定理) ( ) , ( ) ,( 1,2, ) , , , 2 1 2 E X = D X = k = X X X k k k k n 有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立，它们具 = = n k Bn k 1 2 2 记 − → → = + + n k k k n E X B n 1 2 2 0 1 若存在正数，使得当 时， 则随机变量之和 的标准化变量： = n k Xk 1
←概率论 ∑Xk-E(∑X)∑Xk-∑k k=1 B D(∑X) 的分布函数Fn(x)对于任意x,满足 iF(x)=imPk-∑ k k=1 n→0 n→0 B dt=Φ(x) 2兀
概率论 n n k k n k k n k k n k k n k k n B X D X X E X Z − = − = = = = = = 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 的分布函数Fn (x)对于任意x，满足 − = = = → → x B X F x P n n k n k k k n n n 1 1 lim ( ) lim = x - -t 2 e dt 2 1 2 = (x)
←概率论 请注意 1、定理中随机变量之和∑X及其标准化变量 zn在m很大时,分别近似服从 近似地 近似地 ∑X k N(∑k,Bn);Zn~N(0,1) k=1 2、随机变量X无论服从什么分布,只要满足 定理条件,随即变量之和∑X,当n很大时,就近 =1 似服从正态分布,这就是为什么正态分布在概率论 中所占的重要地位的一个基本原因
概率论 请注意 : 在 很大时 分别近似服从 、定理中随机变量之和 及其标准化变量 , 1 1 Z n X n nk k = ~ ( , ) ; ~ (0,1) 2 1 1 X N Bn Zn N nk k nk k 近似地 近似地 = = . 2 1 中所占的重要地位的一个基本原因 似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论 定理条件，随即变量之和 ，当 很大时，就近 、随机变量 无论服从什么分布，只要满足 X n X nk k k =
←概率论 定理6(棣莫佛一拉普拉斯( De laplace定理) 设随机变量mnn=1,2,……)服从参数np(0~<1) 的二项分布,则对任意x,有 7n-1p lim Pim ≤x}= e2at=Φ(x) 1→00 (-p) 2兀 证由第四章知识知可将m分解成为n个相互独立 服从同一(0-1)分布的诸随机变量X1,X2…Xn之和, 即有 7n=∑Xk 其中X(k=1,2,…,n)的分布律为 PXk=}=p(1-p),i=0c②
概率论 定理6(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） } (1 ) lim { x np p np P n n − − → 设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1) 的二项分布，则对任意x，有 n e dt x t − − = 2 2 2 1 = (x) 证 服从同一 分布的诸随机变量 之和， 由第四章知识知可将 分解成为 个相互独立、 n n X X X n (0 − 1) 1 , 2 , = = n k n Xk 1 即有 (1 ) , 0,1 ( 1,2, , ) 1 = = − = = − P X i p p i X k n i i k 其中 k 的分布律为
