数理统计 引言 前面,我们讨论了参数点估计.它是用样本算 得的一个值去估计未知参数.但是,点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似 值的误差范围,使用起来把握不大.区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷
数理统计 引言 前面,我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是,点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似 值的误差范围,使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷
数理统计 譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们 根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估 计为1000条 实际上,N的真值可能大于1000条,也可 能小于1000条 若我们能给出一个区间,在此区间内我们 合理地相信N的真值位于其中这样对鱼数的 估计就有把握多了
数理统计 譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们 根据一个实际样本,得到鱼数 N 的极大似然估 计为1000条. 若我们能给出一个区间,在此区间内我们 合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的 估计就有把握多了. 实际上,N的真值可能大于1000条,也可 能小于1000条
数理统计 也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作1-c,这里C是一个 很小的正数
数理统计 也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 , 称为置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ,这里 是一个 很小的正数
数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如,通常可取置信水平1-=0.95或0.9等 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间(a,0),使 P<0<0}=1-a 称区间(0,0)为的置信水平为1-a的 置信区间
数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 置信区间. 称区间 ( , ) θ θ 为 的置信水平为 1− 的 例如,通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间 ( , ) θ θ ,使 P{ } 1 θ = − θ θ α
数理统计 置信区间定义 设是一个待估参数,给定a>0.若由样本 X1,X2,Yn确定的两个统计量 0=0(X1,X2;…,Xn) (<6) 0=0(X1,X2,…,Xn) 满足 P{<0<0}=1-a 称区间(,0)是b的置信水平(置信度)为1- 的置信区间. O和0分别称为置信下限和置信上限
数理统计 一、 置信区间定义 满足 设 是 一个待估参数,给定 0, X1 ,X2 ,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平(置信度 )为 的置信区间. 1− 和 分别称为置信下限和置信上限. 若由样本 P{ } 1 θ = − θ θ α 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X ( ) θ θ θ θ ( , ) θ θ
数理统计 可见, 对参数作区间估计,就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量 0=0(X1,X (<0) 0=0(X1,X2,…,Xn) 且有了样本,就把日估计在区间(0,0)内 这里有两个要求:
数理统计 这里有两个要求: 可见, 对参数 作区间估计,就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量). 一旦有了样本,就把 估计在区间 内 . 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X ( ) θ θ ( , ) θ θ
数理统计 1.要求以很大的可能被包含在区间(,0) 内,就是说,概率P{<θ<θ}要尽可能大 即要求估计尽量可靠 2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 0-0尽可能短,或能体现该要求的其它准则 可靠度与精度是一对矛盾,一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度
数理统计 可靠度与精度是一对矛盾,一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内,就是说,概率 要尽可能大 . 即要求估计尽量可靠. ( , ) θ θ P{ } θ θ θ 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 θ − θ 尽可能短,或能体现该要求的其它准则
数理统计 二、置信区问的求法 在求置信区间时,要查表求分位点 定义设0x)=a分P(XSx)=1-a 的点x为X的概率分布的上a分位点 P(<X<b)=1-a P(X<b-P(X<a=1-a P(X<)=1-%2: P(X <0)=g 50
数理统计 在求置信区间时,要查表求分位点. 二、置信区间的求法 P a X b ( ) 1 = − α P X b P X a ( ) ( ) 1 − = − α ( ) 1 , 2 P X b α = − ( ) 2 P X a α = 设 , 对随机变量X,称满足 的点 为X的概率分布的上 分位点. α x α 0 1 α ( ) P X x = α α 定义 ( ) 1 = − P X xα α
数理统计 若X为连续型随机变量,则有 a=x 2 b=x a/2 所求置信区间为(x1-a2,xa2) P(a<X<b P(X<b)-P(X<a=1-a P(X<b)=1 3 ,P(X<a)=2 3 a=x1-2a 3, b=xal3 所求置信区间为(x1203,x3)
数理统计 P a X b ( ) 1 = − α P X b P X a ( ) ( ) 1 − = − α 若 X 为连续型随机变量, 则有 1 2 , α a x = − 2 . α b x = ( ) 1 , 3 P X b α = − 2 ( ) 3 P X a α = 所求置信区间为 1 2 2 ( , ) α α x x − 所求置信区间为 1 2 3 , α a x = − 3 . α b x = 1 2 3 3 ( , ) α α x x −