←概率论 第五节条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结布置作业
概率论 第五节 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 布置作业
←概率论 三、全概率公式 看一个例子 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率 解记A={球取自号箱}, ③③③ i=1,2,3; 2 3 B={取得红球} 其中A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1,A2,43之一同时发生
概率论 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率. 解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 1 2 3 其中 A1、A2、A3两两互斥 看一个例子: 三、全概率公式
←概率论 即B=A1B+A2B+A3B 且A1B、A2B、A3B两两互斥 运用加法公式得到 P(B)=P(A1B)+P(42B)+P(3B) 对求和中的每 3 项运用乘法 公式得 P(B)=∑P(4)P(B|4) 代入数据计算得:P(B)8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式
概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每 一项运用乘法 公式得 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) = = 3 i 1 P B P Ai P B Ai ( ) ( ) ( ｜ ) 代入数据计算得：P(B)=8/15 运用加法公式得到 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
←概率论 定义设S为随机试验E的样本空间,B1,B2…,Bn 是E的一组事件,如果满足 (1) B. B (≠ (2)B1∪B2∪..∪Bn=S 则称B1,B2y…,Bn为完全事件系,或称B1,B2…,Bn 为S的一个划分 注意渃B1,B2,Bn为样本空间的一个划分, 则对每次试验,事件组B1,B2,Bn中必有且仅有 个事件发生 可见,S的划分是将S分割成若干个互斥事件
概率论 定义 , , , , 设 S 为随机试验 E 的样本空间 B1 B2 Bn 是 E的一组事件,如果满足 ( ) B B (i j) 1 i j = (2) B B B S 1 2 n = , , , , , , , 则称 B1 B2 Bn 为完全事件系 或称 B1 B2 Bn 为 S 的一个划分. 注意:若 , , , 为样本空间的一个划分, B1 B2 Bn 则对每次试验,事件组 B1 ,B2 ,,Bn 中必有且仅有 一个事件发生. 可见 ,S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件
←概率论 定理1设试验E的样本空间为S,B1,B2…,Bn 为S的一个划分,且P(B)>0(=1,2,…,n,则对 样本空间中的任一事件A,恒有 P(A)=∑P(B)P(4B) i=1 证明因为A=AS=A(B1∪B2∪.Bn) AB,∪AB,∪ ●。 ∪AB 并且AB1∩AB1=q,(≠,所以 P(A=P(AB)+P(AB2)+.+P(AB,) =P(BP(A B,)+.+P(BP(A Bn) ∑P(B;)P(4|B)
概率论 定理 1设试验 E 的样本空间为S ,B B Bn , ,, 1 2 为 S 的一个划分 ,且 P(Bi ) 0 (i = 1,2,,n),则对 样本空间中的任一事件A,恒有 ( ) ( ) ( ) = = n i i Bi P A P B P A | 1 证明 因为 A = AS ( ) = A B1 B2 Bn = AB1 AB2 ABn 并且 ABi ABj = ,(i j),所以 ( ) ( ) ( ) ( ) P A = P AB1 + P AB2 ++ P ABn ( ) ( ) ( ) ( ) n Bn = P B P A | B ++ P B P A | 1 1 ( ) ( ) = = n i i Bi P B P A | 1
←概率论 P4)=∑P(B1)P(4|B)→全概率公式 i=1 全概率公式的基本思想把一个未知的复杂事 分解为若干个已知的简单事件再求解,而这些简单 事件组成一个互不相容事件组,使得某个未知事件 A与这组互不相容事件中至少一个同时发生,故在 应用此全概率公式时,关键是要找到一个合适的S 的一个划分
概率论 ( ) ( ) ( ) = = n i i Bi P A P B P A | 1 全概率公式. 全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件 分解为若干个已知的简单事件再求解,而这些简单 事件组成一个互不相容事件组,使得某个未知事件 A与这组互不相容事件中至少一个同时发生,故在 应用此全概率公式时,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分
←概率论 我们还可以从另一个角度去理解全概率公式 某一事件A的发生有各种可能的原因,如果A 是由原因B(÷=1,2,,n)所引起,则4发生的概率是 P(AB, -(BP(A B) 每一原因都可能导致A发生,故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和, 即全概率公式
概率论 某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是 每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式. P(ABi )=P(Bi )P(A |Bi ) 我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式
←概率论 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系 B B B 诸B是原因 B B是结果 6 B ABCB B 8
概率论 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果” ，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用” ，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A 诸Bi是原因 B是结果
←概率论 例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落 的概率为02,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都 击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率. 解 设A={飞机被击落} B={飞机被i击中},1,2,3 则 A=B14+B4+B24 依题意, 由全概率公式 P(|B1)=0.2, P()=P(B1PA|B1)+P(B2)P(4|B2 P(|B2)=0.6 P(|B3)=1 +P(B3)P(A|B3)
概率论 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3 由全概率公式 则 A=B1A+B2A+B3A 解 依题意， P(A|B1 )=0.2, P(A|B2 )=0.6, P(A|B3 )=1 P(A)=P(B1 )P(A |B1 )+ P(B2 )P(A|B2 ) + P(B3 )P(A |B3 )
←概率论 为求P(B1), 设H{飞机被第认击中},i1,2,3 可求得 P(B,)=P(H,H, HUH H, H, UH, H, H3) P(B2)=P(H,H,H,UH,H HyUH,H,H, P(B3)=P(H1H2H3) 将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.4l;P(B3)=0.14
概率论 可求得 为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 将数据代入计算得 P(B1 )=0.36;P(B2 )=0.41;P(B3 )=0.14. P B P H H H H H H H H H ( 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) = ( ) P B P H H H H H H H H H ( 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) = ( ) P B P H H H ( 3 1 2 3 ) = ( )