哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.2）边缘分布

←概率论 第二节边缘分布 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习 ●小结布置作业

概率论 第二节 边缘分布 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习 小结 布置作业

←概率论 维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有 什么关系呢? 这一节里我们就来探求这个问题

概率论 二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢? 这一节里,我们就来探求这个问题

←概率论 边缘分布函数 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函 数F(x,y),而X和y都是随机变量,也有各自的分 布函数分别记为Fx(x),F,(y),依次称为二维随机 变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数 F P{X≤x}=PX≤x,Y<+o=F(x,+o F(y)=P{≤y}=P{X<+,ysy}=F(+∞,y

概率论 二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有分布函 数 F x y ( , ,) 而 X 和 Y 都是随机变量 ,也有各自的分 布函数,分别记为 ( ), , ( ) F x F y X Y F x P X x X ( ) =    变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数. 依次称为二维随机 ( )    , ,  ( ) F y P Y y P X Y y F y Y =  =  +  = + 一、边缘分布函数 =   + P X x Y  , = + F x( , )

←概率论 二、离散型随机变量的边缘分布律 般地,对离散型Ev(X,), X和Y的联合分布律为 P(x=x,y=y)=P,i,j=1,2, 则(X,Y)关于X的边缘分布律为 PX=x}=∑P{X=x,Y=y}=∑n1会n (i=1,2,…) X=x}=∪X=x1,Y=y

概率论 一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， 则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为 X和Y 的联合分布律为 P(X=xi ,Y = y j )=pi j, i, j =1,2,    1 1 , i j ij j j P X x Y y p   = =   = = = ( i = 1,2,  ) PX = xi  =             = = = =  =  1 , j i i j X x X x Y y 二、离散型随机变量的边缘分布律 i. p

←概率论 (X,Y)关于Y的边缘分布律为 P{=}=∑P{X=x,=}=∑n△P (j=1,2,…)

概率论 (X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为 PY = yj =   j i i j ij i P X x Y y p p. 1 1  ,    =  = = = = ( j = 1,2, )

←概率论 例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次 抛掷中正面出现的次数,而Y为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律 解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) P{X=0,F=3}=(1/2)=1/8 13 3)1(1 P{X=1,Y=1} 3/80 01/8 3)(1 13/80 P{X=2,F=1} 2 3/82 3/80 PX=3,=0}=(2)=1/8 301/8

概率论 例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=0} Y X 1 3 0 1 8 3 8 0 0 1 2 3 3 8 0 0 1 8 2 3 1 1 1 2 2     =           2 3 1 1 2 2 2     =           ( ) 3 = 1 2 = 1 8. =3/8 =3/8 ( ) 3 = 1 2 = 1 8

←概率论 Y 1 0 0 1/8 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 PX=0}+P{X=0,￥=1}+P{X=0,Y=3}=18, P{X=1}=P{X=1,y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8, P{X=2}=P{X=2,Y=1}+PX=2,Y=3}3/8, P{X=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,y=3}=18 P{F=1}=∑P{X=k,=1}=3/8+3/8=6/8, P(=3}=∑P{X=k,Y=3}1/8+182-2/8

概率论 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}= P{X=3}= P{Y=1}= P{Y=3}= P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.   3 0 , 1 k P X k Y =  = = =3/8+3/8=6/8,   =1/8+1/8=2/8. 3 0 , 3 k P X k Y =  = =

←概率论 PX=x 01/8 0123 3/8 380 3/8 3/80 3/8 01/8 1/8 P{=682/8 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上,由此得出边缘分布这个名词

概率论 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. Y X 1 3 0 1 8 3 8 0 0 1 2 3 3 8 0 0 1 8 P Y y  = j P X x  = i 1 8 3 8 3 8 1 8 6 8 2 8

←概率论 联合分布与边缘分布的关系 XP 13P{X=x} 0 01/81/8 3803/8 2 3/803/8 3 01/81/8 P{y=y}682/8 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布

概率论 联合分布与边缘分布的关系 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. Y X 1 3 0 1 8 3 8 0 0 1 2 3 3 8 0 0 1 8 P Y y  = j P X x  = i 1 8 3 8 3 8 1 8 6 8 2 8

←概率论 三、连续型随机变量的边缘概率密度 对连续型rv(X,Y), X和Y的联合概率密度为f(x,y) 则(X,Y)关于X的边缘概率密度为 f(x)=f(x,y0b(∞<x) 事实上,F()=F(x,+∞)=d。f(x,y x(x)=F(x)=」f(x)

概率论 对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为 f (x, y)   − f x = f x y dy X ( ) ( , ) F (x) F(x ) dx f (x y)dy x X −  + − 事实上 , = ,+  = , ( ) ( ) ( , ) X X f x F x f x y dy + −  = =  三、连续型随机变量的边缘概率密度 (−    x )