←概率论 第四节相互独立的随机变量 随机变量相互独立的定义 课堂练习 ●小结布置作业
概率论 随机变量相互独立的定义 课堂练习 小结 布置作业 第四节 相互独立的随机变量
←概率论 、随机变量相互独立的定义 设X,Y是两个rv,若对任意的x,有 P(Xsx,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称X和Y相互独立 两事件A,B独立的定义是:若P(AB)=P(4)P(B) 则称事件A,B独立
概率论 两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 P(X x,Y y) = P(X x)P(Y y) 则称 X 和 Y 相互独立 . 一、随机变量相互独立的定义
←概率论 用分布函数表示,即 设X,是两个r,若对任意的x,有 F(, y)=Fx(xFr(y 则称X和Y相互独立 它表明,两个r相互独立时,它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积
概率论 F(x, y) F (x)F ( y) = X Y 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称 X 和 Y 相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积
←概率论 若(X,是连续型rv,则上述独立性的定义 等价于: 对任意的x,y,有 f(x,y)=f(x)f(y) 几乎处处成立,则称X和Y相互独立 其中f(x,y)是X和Y联合密度Jx(x),fy(y) 分别是X的边缘密度和Y的边缘密度 这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除 去面积为0的集合外,处处成立
概率论 其中 f (x, y) 是X和Y的联合密度， f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义 等价于： 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除 去面积为 0 的集合外，处处成立. 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 . f (x), f ( y) X Y
←概率论 若(X,Y是离散型rν,则上述独立性的定义等 价于: 对(X,Y的所有可能取值(xpy,有 P(X=Xi,r=y:=P(X=xP(r=y, 则称X和Y相互独立
概率论 若 (X,Y)是离散型 r.v ，则上述独立性的定义等 价于： ( , ) ( ) ( ) i j i j P X =x Y = y = P X =x P Y = y 则称 X 和Y 相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj ),有
←概率论 二、例题 例1设(X,刀的概率密度为 e (x+y) f(x,y) x>0,y>0 0,其 问X和Y是否独立? AF f (x)=xe x+ydy=xe, x>0 fr(="tdr=e",y>0
概率论 例1 设(X,Y)的概率密度为 = − + 0, 其它 , 0, 0 ( , ) ( ) xe x y f x y x y 问X和Y是否独立？ 解 − + = 0 ( ) f (x) xe dy x y X − + = 0 ( ) f ( y) xe dx x y Y , x xe− = , y e − = x>0 y >0 二、例题
←概率论 即(x)=xe,x>0 0,其它 fy(y y>0 o,其它 可见对一切xy,均有: f(x,y)=x(f(y 故X,Y独立
概率论 即 = − 0, 其它 , 0 ( ) xe x f x x X = − 0, 其它 , 0 ( ) e y f y y Y f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 可见对一切 x, y, 均有： 故 X , Y 独立
←概率论 若(X,Y的概率密度为 2,0<x<y,0<y<1 f(x,y) 0 其它 情况又怎样? 解f(x)=24y=2(1-x),0<x<1 f(y)=2x=2y, 0<y<1 由于存在面积不为0的区域 f(x,y)≠fx(x)f(y) 故X和Y不独立
概率论 若(X,Y)的概率密度为 = , 其它 , x y, y f ( x, y ) 0 2 0 0 1 情况又怎样？ 解 ( ) 2 2(1 ), 1 f x dy x x X = = − = = y Y f y dx y 0 ( ) 2 2 , 0<x<1 0<y<1 由于存在面积不为0的区域， f (x, y) f (x) f ( y) X Y 故 X 和 Y 不独立
←概率论 例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面如 果甲来到的时间在12:15到1245之间是均匀分布.乙 独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀 分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率.又甲先到的概率是多少? 解设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, XU(15,45),yU(0,60) ∫x(x)=130 15<x<45 0,其它
概率论 例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如 果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙 独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀 分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) = 0, 其它 , 15 45 30 1 ( ) x f X x
←概率论 1 f(y)=160 ,0<x<60 0.其它 f(x,y)=1800 ,15<x<45,0<y<60 0 其它 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不 甲先到 超过5分钟的概率 的概率 所求为P(XY≤5),P(X<Y
概率论 所求为P( |X-Y | 5) , = 0, 其它 , 0 60 60 1 ( ) x f y Y = 0, 其它 , 15 45,0 60 1800 1 ( , ) x y f x y 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 P(X<Y)