第二节 第九章 二重积分的计算法 、利用直角坐标计算二重积分 、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 Q团p
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章
利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时,若D为X-型区域y=2x) D:01(y2(x) D asxs b y 则「1/(x,y)dxdy=dx f(x, y)d ,p,(r)br D 1(x) 若D为Y型区域D:1(y)≤xv2() (y) C≤y≤d 则f(x,y)dxdy=d v2(y) f(x, y)d Jy,(y XX Q团p
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为X – 型区域 则 b ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 o y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d c y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于 f(x, y) f(r,y)+f(, y)f(,y)-f(, y) 2 fi(r,y) f2(x,y)均非负 ,S(x, y) dxdy=/(x, y )dxdy f2(x,y)dxd y 因此上面讨论的累次积分法仍然有效. Q团p
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效. 由于
说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域, 则有f( (x, y)dxdy D y=(2(x) b rp2(x) dx f(, y)dy x x=2(y) J1(x) 2(y) f(x, y)dx v1(y) ol a X b x 为计算方便可选择积分序,必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂可将它分成若干y X型域或Y型域,则 ∫n=∫D+∫D,+ X Q团p
y 说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域, D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o D ( ) 1 x = y 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y x y a b ( ) 2 x = y d c o x (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则
例1计算=Dyo,其中D是直线=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 1≤y≤x 解法1.将D看作X型区域,则D 1<x<2 ∫dFy=[x1下ux x Idx= 解法2将D看作Y型区域,则D/Jsx≤201x2 1≤y≤2 Ⅰ= d yl xydx= 7xy」dy= 2y-2y3]y Q团p
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1.计算 d , = D I xy 其中D 是直线y＝1,x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1.将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2.将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2
例2计算∫Dyσ,其中D是抛物线=x及直线 y=x-2所围成的闭区域 解:为计算简便先对x后对积分, D ∫y2≤x≤y+2 4x X 2 y+2 xydo 21y+2 x y dy=Iy(y+2)4-y]dy 4 3+).)1.6245 18 Q团p
例2.计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便,先对x后对y积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则
例3.计算 SInx D x dxdy,其中D是直线y=x,y=0 x=丌所围成的闭区域 解:由被积函数可知先对x积分不行, 因此取D为X-型域: D x三丌 0≤y≤x O 0<x<兀 SIn 丌sinx dxd dx D x 0 X sinxdx 0 说明:有些二次积分为积分方便还需交换积分顺序 Q团
例3.计算 d d , sin D x y x x 其中D 是直线 所围成的闭区域. o x y D x = y = x 解:由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域: x y x D 0 0 : D x y x x d d sin x y 0 d = 0 sin xdx = 2 = 0 d sin x x x 先对x积分不行, 说明:有些二次积分为积分方便,还需交换积分顺序
例4.交换下列积分顺序 i=ldx 2 f(r, y)dy+ dx f∫(x,y)dy 解:积分域由两部分组成: 2 0≤y<x 0≤y≤√8-x y 0<x<2 2≤x<2√2 将D=D+D2视为y型区域则 22√2x y ≤x≤18-y 0≤y≤2 f(x, y)dxdy=l dy f(x, y)dx D 2y Q团p
例4.交换下列积分顺序 − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1 x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 2 y o x D1 2 2 1 y = x 2 − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D = D1 + D2 D : 视为Y–型区域,则 2 2y x 8 − y 0 y 2 = D I f (x, y)d xd y − 2 8 2 ( , )d y y f x y x = 2 0 dy
例5计算=∫D2m(y+1+y2)dy,其中D由 y=4-x2,y=-3x,x=1所围成 解:令/f(xy)=xlm(y+√1+y2 y1=7 D=D1+D2(如图所示) 显然在D1上,f(-x,y)=-(x,)y43 在D2上,f(x-y)=-f(x,y) x xln(y+√1+y2dxdy KInd a y+v1+y ) dxdy=0 Q团p
例5.计算 其中D 由 4 , 2 y = − x y = − 3 x, x = 1 所围成 . D 1 解 : 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y = x y + + y D = D1 + D2 (如图所示 ) 显然 , , 在D1上 f (−x, y) = − f (x, y) , 在D2上 f (x,−y) = − f (x, y) I x y y x y D ln( 1 )d d 1 2 = + + x y y x y = 0 D ln( 1 )d d 2 2 + + + o y 1 x 2 y = 4 − x y = − 3 x D 2 x = 1 4
二、利用极坐标计算二重积分 日=6.+△ 在极坐标系下,用同心圆产常数 6=6 及射线=常数,分划区域D为 △ △k(k=1,2,…,nm) 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 △Gk=2(k+△k)2△O-k2△k 是[k+(n+Mv)A△Okk△O 7k△k·△bk △b, 在Aak内取点(k,6)对应有 Sk=k cos Bk, nk=rk sin Ok Q团p
k k k = r r k k k k k k = r cos , = r sin 对应有 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下,用同心圆r=常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 k (k 1,2, ,n) k = 在 k ( , ), k k r k k − r 2 2 1 内取点 k k k = r + r 2 2 1 ( ) 及射线 =常数, 分划区域D 为 x y o = k = k + k k r = r k k r k r k k k r