第四节 第九章 重积分的应用 、立体体积 曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 Q团p
第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第九章
能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是∫分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性 用重积分解决问题的方法 用微元分析法(元素法) 从定积分定义出发建立积分式 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 Q团p
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法
、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面=f(x,y,(x,y)∈D, 则其体积为 ∫n( x, y)dxdy 占有空间有界域g的立体的体积为 dxd yd Q团p
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域的立体的体积为 V = dxdydz
例1求曲面S1:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面 S2:z=x2+y2所围立体的体积V 解:曲面S在点x,y0)的切平面方程为 =2x0X+2vy+1 它与曲面z=x2+y2的交线在xy面上的投影为 (x-x0)2+(y-y0)2=1(记所围域为D) 2x0x+2y0y+1-x 2,yo -ydxd y D D1-(x-x)2+(y-y03)dxo Ax-xo=rcos0, y-yo=rsin0 7-lJ 2丌 r2· rdrd e=丌 de rdr=
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V. 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 2 0 2 0 1 0 z = x x + y y + − x − y 它与曲面 的交线在xoy面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V x y D d d = 2 2 − x − y 2 0 2 2 0 2 0 1 0 x x + y y + − x − y x y D 1 d d = − ( ) 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) = − 令 x − x0 = r cos , y − y0 = rsin 2 = (记所围域为D) 在点 D r r d r d 2 例1.求曲面 = − d r d r 1 0 3 2 0
例2求半径为m的球面与半顶角为c的 内接锥面所围成的立体的体积 解:在球坐标系下空间立体所占区 域为 0<r≤2ac0sq 2:0≤9≤a 0<0<2丌 dv=rsin gd edcdr 则立体体积为 2 acos dxdydz= d0 sin d r al 1 6a ra 4兀 cos sin d (1-cos a) 3J0 Q团p
x o y z 2a 例2. 求半径为a的球面与半顶角为的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区 域为 : 则立体体积为 V = dxdydz 2 cos 0 2 d a r r cos sin d 3 16 0 3 3 = a (1 cos ) 3 4 4 3 = − a 0 r 2a cos 0 0 2 0 sin d = 2 0 d dv r sin d d dr 2 = r M
二、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积可看成曲面上各点M(x,y,2)s2M 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为则 do, do=cos rd A coSr=T 1+f(x,y)+fy(x, y) d dA=1+/2(xy)+/2(x)y)da mdo (称为面积元素) Q团p
二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积dA无限积累而成. 设它在D上的投影为 d, d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M d A z d n M n d
故有曲面面积公式 1+/2(xy)+f2(x,y)d D 即=11+( O2、 022dx d D ax 若光滑曲面方程为x=g(y,z),(y)∈Dyz,则有 ax OX A 1+( y2 Q团p
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即
若光滑曲面方程为y=h(,x),(z,x)∈D2x,则有 A 1+( ay2,ay dzdx 2x 02 ax 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F2≠0,则 az F az x F2 -y,(x,y)∈D3 F.-+ Edxd y F Q团p
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y
例3计算双曲抛物面z=x被柱面x2+y2=R2所截 出的面积A 解:曲面在xoy面上投影为D:x2+y2≤R2,则 A 1+zx+zy dxdy 1+x+vxd D d、1+r2rdr 2 z(1+R2)2-1) Q团p
例3.计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在xoy面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + r r r R d 1 d 0 2 20 = + [(1 ) 1)] 32 23 2 = + R − 出的面积A
例4.计算半径为a的球的表面积 解:方法1利用球坐标方程 asin od0 设球面方程为r=a d e 球面面积元素为 asin gp da=a sindone ad 22z de sin o d g 0 4a 方法2利用直角坐标方程(见书P109) Q团p
例4. 计算半径为a的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程.(见书P109) 方法1 利用球坐标方程. a x y z o d asind
