第5章实用线性模型 52方差分析 5.2.1单因子方差分析 在科学试验和生产实践中,影响一事物的因素往往是 很多的。如产品质量是否受到配料、设备、人工等的差异 的影响。要找出对产品质量有影响的因素,我们需要进行 试验。方差分析就是根据试验的结果进行分析,鉴别各个 有关因素对试验结果影响的有效方法。 在实验中我们称要考察的指标为试验指标。称影响指 标的条件为因素。称因素所处的状态为水平。如果在一项 试验中只有一个因素在改变称为单因子试验,如果多于 个因素在改变称为多因子试验。 5-1
5- 1 第5章 实用线性模型 5.2 方差分析 5.2.1 单因子方差分析 在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是 很多的。如产品质量是否受到配料、设备、人工等的差异 的影响。要找出对产品质量有影响的因素，我们需要进行 试验。方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个 有关因素对试验结果影响的有效方法。 在实验中我们称要考察的指标为试验指标。称影响指 标的条件为因素。称因素所处的状态为水平。如果在一项 试验中只有一个因素在改变称为单因子试验，如果多于一 个因素在改变称为多因子试验
例1.对某农作物采取五种不同的施肥方案进行 收获量试验。每种方案作四块田,结果如下表。 试求不同施肥方案对农作物收获量有无显著性影。 只施「施甲施乙施丙施丁 化肥种肥种肥种肥种肥 16798607190 6796696470 234 4591508179 5266357088 5-2
5- 2 例1.对某农作物采取五种不同的施肥方案进行 收获量试验。每种方案作四块田，结果如下表。 试求不同施肥方案对农作物收获量有无显著性影。 4 52 66 35 70 88 3 45 91 50 81 79 2 67 96 69 64 70 1 67 98 60 71 90 种 肥 施 丁 种 肥 施 丙 种 肥 施 乙 种 肥 施 甲 化 肥 只 施
设因数A有I个水平A1,…,A1,在水平A1下 进行n1次试验(=1,…,D,共进行了N=∑n次试验, 倀定各次试验都是独的,得到 样本观测值(i=1,…,I;k=1,…,n;),如下表: 水平 2 观 12 y22 12 值 k n J yik =ui t eik I: k ik 5 i=1,…,Ⅰ为相互独立的N(0,a2)正态分布 5-3
5- 3 样本观测值 如下表： 假定各次试验都是独立的，得到 进 行 次试验 共进行了 次试验， 设因数 有 个水平 在水平 下 ( 1 , , ; 1 , , ) , ( 1 , , ) , , , , 1 1 i k i I i i i I i y i I k n n i I N n A I A A A = = = = = i i k n n In I I I y y y y y y y y y y A A A 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 值 测 观 水 平 1 , , 为相互独立的 (0 , )正态分布。 , 1 , , , , 1 , , ; 1 , , 2 i I N e k n y e i I k n i k i i k i i k i = = = + = =
对因子的不同水平对啦变量影响的差异归绣 要检验假设:H0:A=H2 H1:至少存在一对H≠H, 在上表中计算:.=∑pi=1,…,I J N ∑∑ i=1k=1 N之 修正的总平方和为SsT=∑∑(k-)2=∑∑pk-Np i=1k=1 组间差平方和:SA=∑(-j)=∑-Np 组内差平方和:SE=2∑(ya-p) 5-4
5- 4 = • = = •• = • = = = = = = = I i i i I i n k i k n k i k i i i j I n y N y N y y i I n y H H i i 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 , , 1 : , : , 在上表中计算： 至少存在一对 要检验假设： 对因子的不同水平对响应变量影响的差异归结为 ( ) ( ) ( ) = = • = • •• = • •• = = •• = = •• = − = − = − = − = − I i n k i k i I i i I i i I i n k i k I i n k i k i i i SSE y y SSA y y y N y SST y y y N y 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 组内差平方和： 组间差平方和： 修正的总平方和为：
ssT= SSA+ SSe ∫s SSA SSE SST N MSSA= SSA/(I-1). MSSE=SSE/(N-D) MSSA SSA/(I-1) MSSE SSE/(N-D I-1.N-I 对给定的水平a,当F>F11、N,时拒绝H0这意味着 响应变量在不同的因荪平下的均值有显著;否则 就接受H没有显著差异。对给趙F,P=P(F1,N>F) 也就是尾概率,当<a时拒绝H0,两种方法完全等价 单因子方差分析表 方差来源平方和自由度 均方 FP值 因子效应Ss4I-1MSsA=SS4/(-1) MSSA MSSE 随机误差SE|N-IMSE=SE/(N-D) 和 SSTN-1 5-5
5- 5 I N I SSA SSE SST F SSE N I SSA I MSSE MSSA F MSSA SSA I MSSE SSE N I f I f N I f N SST SSA SSE − − − − = = = − = − = − = − = − = + 1 , ( ) ( 1) ( 1) . ( ) 1 1 ～ 也就是尾概率，当 时拒绝 两种方法完全等价。 就接受 没有显著差异。对给定的 响应变量在不同的因子水平下的均值有显著差异；否则 对给定的水平 ， 当 时拒绝 这意味着 . . , ( ) , . 0 0 1 , 1 , , , 0 p H H F p P F F F F H I N I I N I = − − − − 1 ( ) 1 ( 1) − − = − − = − SST N SSE N I MSSE SSE N I p MSSE MSSA SSA I MSSA SSA I F p 和 随机误差 因子效应 方差来源 平方和 自由度 均 方 值 单因子方差分析表
H:μ1=丛2=p3=4=5;H1:μ2、两从均不相等 只施施甲施乙施丙施丁 化肥种肥「种肥种肥|种肥 67 98 60 71 90 2 67 96 69 64 70 45 91 50 81 79 52 66 35 70 88 ∑23135121429437∑∑=1417 ∑ Yn5775877553.573.581.75 2022 Y=70.85 ∑|5334132014579864361069092∑ 415723 ∑V13767314571206110982985∑∑12=10693 i=1 :1 ia 5-6
5- 6 = = = = = = = = = = = = = = = = 5 1 4 1 2 4 1 2 5 1 2 4 1 2 4 1 5 1 4 1 4 1 5 1 4 1 4 1 13767 31457 12086 21798 26985 106093 53361 123201 45796 86436 106929 415723 70.85 20 1 57.75 87.75 53.5 73.5 81.75 4 1 231 351 214 294 327 1417 4 52 66 35 70 88 3 45 91 50 81 79 2 67 96 69 64 70 1 67 98 60 71 90 j i i j i i j j i i j i i j j i i j i i j j i i j i i j Y Y Y Y Y Y Y Y 种 肥 施 丁 种 肥 施 丙 种 肥 施 乙 种 肥 施 甲 化 肥 只 施 H0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 ; H1 : 1 、 2 、 3 、 4 、 5 均不相等
再根据上表计算组间薩平方和 2 2 SSA 1∑x-y=1(∑x 20 ∑∑V j=1\i ×415723-×14172=35363 20 组内平方和 sSe= ∑∑-=∑-1E∑x 1i=1 j=1i=1 LE =106093--×415723=2162.25 5-7
5- 7 1417 3536.3 20 1 415723 4 1 20 1 4 1 4 1 2 2 5 1 4 1 5 1 2 4 1 2 5 1 = − = − = = − = = = j= i= i j j i i j j SSA Yj Y Y Y ( ) 415723 2162.25 4 1 106093 4 1 2 5 1 4 1 5 1 4 1 2 5 1 4 1 2 = − = = − = − = = = = j= i= i j j i i j j i SSE Yi j Y Y Y 组内平方和 再根据上表计算组间离差平方和
方差分析表: 离差平方和自由度平均离差平方和F比p值 组间Ss4=353634 88405 61330.005 组内SE=21622515 144.15 总和ST=56985519 计算F 884.05 6133.查表F 4.81 144.15 4,15,0.01 F>F拒绝H0 即采用不同施肥方案戏攵获量有显著影响 5-8
5- 8 . 6.133 . 4.81 144.15 884.05 0 4,1 5, 0.0 1 F F H F F 拒 绝 计 算 查 表 = = = 方差分析表： 5698.55 19 2162.25 15 144.15 3536.3 4 884.05 6.133 0.005 = = = SST SSE SSA F p 总 和 组 内 组 间 离差平方和 自由度 平均离差平方和 比 值 即采用不同施肥方案对收获量有显著影响
522双因子等重复试验的方差分析 在双因素试验中,如果不仅考虑因素A及B各自对 试验结果的影响,而且还要考虑因素A与B的交互作用 (记作AXB,简记作Ⅰ)对试验结果的影响,则应该 对于因素A与B的各个水平的每一种配合 (,B;)(i 分别进行K≥2次重复试验,即共进行N=I次试验, 假定各次试验都是独立的,得到样本观测值 yik(k=1,…,K)如下表: 5-9
5- 9 5.2.2 双因子等重复试验的方差分析 在双因素试验中，如果不仅考虑因素 及 各自对 试验结果的影响，而且还要考虑因素 与 的交互作用 （记作 ，简记作 ）对试验结果的影响，则应该 对于因素 与 的各个水平的每一种配合 分别进行 次重复试验，即共进行 次试验， 假定各次试验都是独立的，得到样本观测值 如下表： A B B A A A (A , B ) (i 1 , , I ; j 1 , , J ) i j = = B B y (k 1 , , K) ijk = I K 2 N = IJK
因素B B B 因素4 121 12k k lI llk 12k 5-10
5- 10 IJk IJ I k I I k I I m k J k k Jk J k k J x x x x x x A x x x x x x A x x x x x x A B B B 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 221 2 1 211 2 1 1 1 1 2 121 1 1 111 1 1 2 因素B 因素A