第八节函数的连续性 习题 1.讨论下列函数的连续性.并画出函数的图形 x<0, (1)f(x)= ∫x2+1,0≤x<1 (2)f(x) ≤X≤ 解(1)易知f(x)在[0,1)和(1,2]上连续,在x=1点处, imf(x)=lm(3-x)=2=f(1);imf(x)=im(x3+1)=2=f() 故f(x)在x=1处也连续,即函数在定义域[2]上连续如图1.5 (2)函数定义域为[-1,1,易知函数在[-1,0)和(0,1上连续,在x=0点处 lim f(x)=lim l=f(0);imf(x)=lm(x-1)=-1≠f(0), 故x=0是∫(x)的跳跃间断点如图1.6 y 图1.5 图16 2.指出下列函数的间断点及其类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数 的定义使之连续: (3)y (4)f(x) +1, 0, 3x+2 解(1)函数在x=0处无定义,且当x→0时,函数值在-1和1之间无限次的 动,称x=0是函数的振荡间断点 (2)因为lim2s业x=1,所以x=0是可去间断点,补充定义y(0)=1,则函数 连续 (3)函数在x=1和x=2处无定义
1 第八节 函数的连续性 习 题 1-8 1. 讨论下列函数的连续性. 并画出函数的图形: (1) 3 1, 0 1, ( ) 3 , 1 2; x x f x x x ⎧⎪ + ≤ = ⎨ ⎪⎩ − ≤ 解 (1) 函数在 x = 0 处无定义, 且当 x → 0 时, 函数值在 −1和1之间无限次的 变动, 称 x = 0 是函数的振荡间断点. (2) 因为 0 arcsin lim 1 x x → x = , 所以 x = 0 是可去间断点, 补充定义 y(0) 1 = , 则函数 连续. (3) 函数在 x =1和 x = 2 处无定义. O y 1 2 x 2 1 图 1.5 x −1 O y −1 1 图 1.6 1
x-3+21mx+1=-2,所以x=1是函数的可去间断点补充定义 因为lim x2-1 1x-2 y(1)=-2,则函数连续; 因为lir 所以x=2是无穷间断点 (4)因为imf(x)=lim(x2+1)=1;limf(x)=lim(2-x)=2,所以x=0是函 数的跳跃间断点 3.设函数f(x)在点x处连续,证明它的绝对值(x)亦在点x处连续 证由f(x)在x=x连续,故 当x-x1 解易知∫(x)=lim ={0当x=1 n→∞1+x X= 跳跃间断点; 在x=1处,limf(x)=lim(-x)=-1,limf(x)=limx=1,所以x=1为跳跃间 断点 5.计算下列极限 (2) lim In( tan x) (3)lim(√x2 2 (6)limx(1+--1) A(1) limin(2x-1)=sinl
2 因为 2 2 1 1 1 1 lim lim 2 x x 3 2 2 x x → → x x x − + = =− − + − , 所以 x =1是函数的可去间断点, 补充定义 y(1) 2 = − , 则函数连续; 因为 2 2 2 1 lim x 3 2 x → x x − = ∞ − + , 所以 x = 2 是无穷间断点. (4) 因为 2 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x x fx x → → + + = += ; 0 0 lim ( ) lim (2 ) 2 x x fx x → → − − = − = , 所以 x = 0 是函 数的跳跃间断点. 3. 设函数 f ( ) x 在点 0x 处连续, 证明它的绝对值 f ( ) x 亦在点 0x 处连续. 证 由 f ( ) x 在 0 x = x 连 续 , 故 ∀ε > 0 , 0 ∃δ > , 当 0 x x − − ⎪ = == ⎨ + ⎪ < ⎩ 当 当 当 在 x = −1处, 1 1 lim ( ) lim 1 x x fx x →− →− + + = =− , 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 x x fx x →− →− − − = − = , 所以 x = −1为 跳跃间断点; 在 x =1处, 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 x x fx x → → + + = − =− , 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − = = , 所以 x =1为跳跃间 断点. 5. 计算下列极限: (1) 1 limsin(2 1) x x → − ; (2) π 4 lim ln(tan ) x x → ; (3) 2 2 lim ( 2 ) x x x x →+∞ +− − ; (4) 2 2 2 lim x 2 x → x + − − ; (5) 2 0 1 sin lim x sin 2 x x → x ; (6) 1 lim ( 1 1) x x →+∞ x + − . 解 (1) 1 limsin(2 1) sin1 x x → − =
(2) lim In(tan x)=In(tan)=0 2 3)im(√x2+2-√x2-x)=lim 2+x lim (4)imyx+2-2 x→2(x-2)√x+2+2) x+2+2 x sin (5) lim x (6) lim x(/1+--1)=lim x( Im √x +1+√x 6.计算下列极限: (1)lim tan 2x (2) lim e (3) lim(1+2 x (5) lim n[In(1+n)-Innl 解(1)mtan2x=mx=2 x→0x 2x+1 (2)lime f =er =e=l (3)lim(1+ 2 tan x) x=[lim(1+2 tan x)2tan']=e (4)im lim(
3 (2) π 4 π lim ln(tan ) ln(tan ) 0 x 4 x → = = . (3) 2 2 2 2 2 2 1 2 lim ( 2 ) lim lim 2 2 1 1 1 x xx x x x xx x xx x x →+∞ →+∞ →+∞ + + +− − = = ++ − + + − 1 2 = . (4) 22 2 22 2 1 1 lim lim lim xx x 2 4 ( 2)( 2 2) 2 2 x x →→ → x xx x +− − = == − − ++ ++ . (5) 2 2 000 1 1 sin sin 1 lim lim lim sin 0 xxx sin 2 2 2 x x x x x →→→ xx x = == . (6) 1 1 lim ( 1 1) lim ( 1) lim ( 1 ) xxx x x x xx x →+∞ →+∞ →+∞ x x + + − = − = +− 1 1 lim lim 1 1 2 1 1 x x x x x x →+∞ →+∞ = == + + + + . 6. 计算下列极限: (1) 0 tan 2 lim x x → x ; (2) 2 2 1 lim e x x x + →∞ ; (3) 2 2 cot 0 lim(1 2 tan ) x x x → + ; (4) 2 2 2 1 lim ( ) 1 x x x →∞ x − + ; (5) lim [ln(1 ) ln ] n n nn →∞ + − ; (6) 1 1 cot lim ( ) x x x →∞ x − . 解 (1) 0 0 tan 2 2 lim lim 2 x x x x → → x x = = . (2) 2 2 21 21 lim 0 lim e e e 1 x x x x x x →∞ + + →∞ = == . (3) 2 2 1 2 cot 2 2 2 2tan 0 0 lim(1 2 tan ) [lim(1 2 tan ) ] e x x x x x x → → + =+ = . (4) 22 2 2 2 2 2 12 2 lim 2 1 1 2 2 2 1 2 lim ( ) lim (1 ) e e 1 1 x xx x x x x x x x x x →∞ +− − − ⋅ + + − →∞ →∞ − =− = = + +
5)因为 lim x[In(1+x)-lnx]=lmln(1+-)= In lim(1+-)=1,所以 lim n[In(1+n)-Inn]=1 lim(-- 1(-x)--x) (6) lim( lim( →x x→ 7.设函数 x>0 arcsin ax x<0 试求a、b,使∫(x)处处连续 解∫(x)处处连续,则必在x=0处连续,故 lim f(x)=lim 0x2f(0)=b,即b= limf(x)=Ⅷ m arcsin a ==f(0)=b,故a=2b=1
4 (5) 因为 1 1 lim [ln(1 ) ln ] lim ln(1 ) ln lim (1 ) 1 x x x xx x xx →∞ →∞ →∞ x x +− = + = + = , 所以 lim [ln(1 ) ln ] 1 n n nn →∞ + − = . (6) 1 1 cot lim( ) 1 1 cot ( )( ) tan 1 1 1 lim ( ) lim (1 ) e e x x x x x xx x x x x x →∞ − − − − →∞ →∞ − =− = = . 7. 设函数 1 1, 0, ( ) , 0, arcsin , 0. 2 x x x fx b x ax x x ⎧ + − ⎪ > ⎪⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ < ⎪⎩ 试求 a 、b , 使 f ( ) x 处处连续. 解 () f x 处处连续, 则必在 x = 0 处连续, 故 00 0 1 11 1 2 lim ( ) lim lim (0) xx x 2 x x f x fb x x →→ → ++ + + − = = == = , 即 1 2 b = ; 0 0 arcsin lim ( ) lim (0) x x 2 2 ax a f x fb x → → − − = == = , 故 a b = 2 1 =