§7多项式函数 到目前为止,我们始终是纯形式地讨论多项式,也就是把多项式看作形式表 达式.在这一节,将从另一个观点,即函数的观点来考察多项式 多项式函数 设 f(x) +an-1x"-1+…+a1x+a (1 是Px]中的多项式,a是P中的数,在(1)中用a代x所得的数 +…+a,C+a 称为f(x)当x=a时的值记为f(a)这样,多项式f(x)就定义了一个数域上的函 数可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数 因为x在与数域P中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以 不难看出,如果 h2(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x), 那么 h2(a)=f(a)+g(a),h2(a)=f(a)g(a) 定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式f(x),所得的余式是一个常数, 这个常数等于函数值f(a 如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或零点 由余数定理得到根与一次因式的关系 推论a是f(x)的根的充要条件是(x-a)|f(x) 由这个关系,可以定义重根的概念.a称为f(x)的k重根,如果(x-a)是 f(x)的k重因式当k=1时,a称为单根;当k>1时,a称为重根 定理8P[x中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个,重根按重 数计算 、多项式相等与多项式函数相等的关系
§7 多项式函数 到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表 达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式. 一、多项式函数 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − (1) 是 P[x] 中的多项式， 是 P 中的数，在(1)中用 代 x 所得的数 1 0 1 a a 1 a a n n n n + + + + − − 称为 f (x) 当 x = 时的值,记为 f ().这样，多项式 f (x) 就定义了一个数域上的函 数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数. 因为 x 在与数域 P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以 不难看出，如果 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , 1 2 h x = f x + g x h x = f x g x 那么 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) . h1 = f + g h2 = f g 定理 7(余数定理)用一次多项式去除多项式 f (x) ，所得的余式是一个常数， 这个常数等于函数值 f (). 如果 f (x) 在 x = 时函数值 f () = 0 ，那么 就称为 f (x) 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系. 推论 是 f (x) 的根的充要条件是 (x −) | f (x) . 由这个关系，可以定义重根的概念. 称为 f (x) 的 k 重根，如果 (x −) 是 f (x) 的 k 重因式.当 k =1 时， 称为单根；当 k 1 时， 称为重根. 定理 8 P[x] 中 n 次多项式 (n 0) 在数域 P 中的根不可能多于 n 个，重根按重 数计算. 二、多项式相等与多项式函数相等的关系
在上面看到,每个多项式函数都可以由一个多项式来定义不同的多项式会 不会定义出相同的函数呢?这就是问,是否可能有 f(x)≠g(x) 而对于P中所有的数a都有 f(a)=g(a)? 由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答 定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数 有相同的值即 (a)=g(a1) i=1,2,…,n+1,那么f(x)=g(x) 因为数域中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项式定义的函数也 不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称为恒等,上面结论表明,多项式 的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说,数域P上的多项式既可以作为 形式表达式来处理,也可以作为函数来处理.但是应该指出,考虑到今后的应用 与推广,多项式看成形式表达式要方便些 三、综合除法 根据余数定理,要求f(x)当x=c时的值,只需用带余除法求出用x-c除f(x) 所得的余式但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法 设 f(x)=anx”+a1xm+a2x"-2+…+an1x+a 并且设 f(x)=(x-c)q(x)+r 其中 q(x)=box+b,x+b2x+.+bn-2x+bm-1 比较等式(2)中两端同次项的系数得到
在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会 不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有 f (x) g(x) , 而对于 P 中所有的数 都有 f () = g() ? 由定理 8 不难对这个问题给出一个否定的回答. 定理 9 如果多项式 f (x) , g(x) 的次数都不超过 n ,而它们对 n+1 个不同的数 有相同的值即 ( ) ( ) i g i f = , i = 1, 2 , , n +1,那么 f (x) = g(x) . 因为数域中有无穷多个数，所以定理 9 说明了，不同的多项式定义的函数也 不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式 的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域 P 上的多项式既可以作为 形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用 与推广，多项式看成形式表达式要方便些. 三、综合除法 根据余数定理,要求 f (x) 当 x = c 时的值,只需用带余除法求出用 x −c 除 f (x) 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法. 设 n n n n n f x = a x + a x + a x + + a − x + a − − 1 2 2 1 0 1 ( ) 并且设 f (x) = (x − c)q(x) + r . (2) 其中 ( ) . 2 1 3 2 2 1 1 0 − − − − − = + + + + n + n n n n q x b x b x b x b x b 比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
b ch, +a b, -cb r=cb,+ 这样欲求系数b,只要把前一系数b1乘以c再加上对应系数a,而余式r也可以 按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的 系数和余式 bo 6, b2 表中的加号通常略去不写 例1用x+3除f(x)=x4+x2+4x-9 例2求k使∫(x)=x4-5x3+5x2+kx+3能被x-3整除 注意:若∫(x)缺少某一项在作综合除法时该项系数的位置要补上零 四、拉格朗日插值公式 已知次数≤n的多项式f(x)在x=c;(i=12,…,n+1)的值 f(c1)=b(i=1,2,…,n+1).设 依次令x=c代入f(x),得 (c1-c1)…(c1-c-1)c4-c+1)…(c1-cn+) f(x) b,(x-c1)…(x-C1=1(x-Cn1)…(x-Cn) (c1-c1)…(c1-cc1-c)…(c1-cn1) 这个公式叫做拉格朗日( Lagrange)插值公式 例3求次数小于3的多项式f(x),使 f(1)=1,∫(-1)=3,f(2)=3 下面介绍将一个多项式表成一次多项式x-a的方幂和的方法所谓n次多项
. , , , , 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 − − − − = − = − = − = − = n n n n n a r cb a b cb a b cb a b cb a b . , , , , 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 0 n n n n n r cb a b cb a b cb a b cb a b a = + = + = + = + = − − − − 这样,欲求系数 k b ,只要把前一系数 k −1 b 乘以 c 再加上对应系数 k a ,而余式 r 也可以 按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的 系数和余式: b b b b r cb cb cb cb c a a a a a n n n n n | ) | 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + 表中的加号通常略去不写. 例 1 用 x + 3 除 ( ) 4 9 4 2 f x = x + x + x − . 例 2 求 k 使 ( ) 5 5 3 4 3 2 f x = x − x + x + kx+ 能被 x − 3 整除 注意 :若 f (x) 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零. 四、拉格朗日插值公式 已知次数 n 的多项式 f (x) 在 x = c (i =1,2, ,n +1) i 的 值 f (c ) = b (i =1,2, ,,n +1) i i .设 + = = − − − − + − + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n i i i i n f x k x c x c x c x c 依次令 x = c 代入 f (x) ,得 ( ) ( )( ) ( ) − 1 − −1 − +1 − +1 = i i i i i i n i i c c c c c c c c b k + = − + + − + + − − − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n i i i i i i i n i i i n c c c c c c c c b x c x c x c x c f x 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式. 例 3 求次数小于 3 的多项式 f (x) ,使 f (1) = 1 , f (−1) = 3 , f (2) = 3. 下面介绍将一个多项式表成一次多项式 x − 的方幂和的方法.所谓 n 次多项
式f(x)表成x-a的方幂和,就是把f(x)表示成 f(x)=b,(x-a)"+b,(x-a) +b1(x-a)+b 的形式如何求系数b,bn,…,b,b,把上式改写成 f(x)=[bn(x-a)1+bn(x-a)2+…+b]x-a)+b0 就可看出b就是f(x)被x-a除所得的余数,而 q1(x)=bn(x-a)+bn1(x-a)"2+…+b 就是f(x)被x-a除所得的商式又因为 q1(x)=[bn(x-a)"2+bn1(x-a)"+…+b2x-a)+b1 又可看出b是商式q1(x)被x-a除所得的余式,而 q b b 就是q1(x)被x-a除所得商式这样逐次用x-a除所得的商式,那么所得的余数 就是b,b,…,bn1,b 例4将f(x)=(x-2)+2(x-2)3-3(x-2)2+(x-2)+5展开成x的多项式 解令 2,则x=y+2.于是 问题变为把多项式y4+2y3-3y2+y+5表成y+2(即x)的方幂和, 2 12 5 0 +) 11
式 f (x) 表成 x − 的方幂和，就是把 f (x) 表示成 1 0 1 1 f (x) b (x ) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − + − − 的形式.如何求系数 1 1 0 bn ,bn− , ,b ,b ，把上式改写成 1 0 2 1 1 f (x) [b (x ) b (x ) b ](x ) b n n n = n − + − + + − + − − − , 就可看出 0 b 就是 f (x) 被 x − 除所得的余数，而 1 2 1 1 1 q (x) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − − − 就是 f (x) 被 x − 除所得的商式.又因为 2 1 3 1 2 1 q (x) [b (x ) b (x ) b ](x ) b n n n = n − + − + + − + − − − . 又可看出 1 b 是商式 ( ) 1 q x 被 x − 除所得的余式，而 3 2 3 1 2 2 q (x) b (x ) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − + − − − . 就是 ( ) 1 q x 被 x − 除所得商式.这样逐次用 x − 除所得的商式，那么所得的余数 就是 b b bn bn , , , , 0 1 −1 . 例 4 将 ( ) ( 2) 2( 2) 3( 2) ( 2) 5 4 3 2 f x = x − + x − − x − + x − + 展开成 x 的多项式. 解 令 y = x − 2 ，则 x = y + 2 .于是 ( 2) 2 3 5 4 3 2 f y + = y + y − y + y + . 问题变为把多项式 2 3 5 4 3 2 y + y − y + y + 表成 y + 2 （即 x ）的方幂和, -2 | 1 2 -3 1 5 +) -2 0 6 -14 ------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9 +) -2 4 -2 ------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5 +) -2 8 ----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9 +) -2 ----------------------------------
所以 f(x)=x-6x2+9x2+5x-9 注意:将f(x)表成x-a的方幂和,把a写在综合除法的左边,将x-a的方 幂和展开成x的多项式,那么相当于将f(x)表成(x-c)+c的方幂和,要把-c写 在综合除法的左边
1 | -6 所以 ( ) 6 9 5 9 4 3 2 f x = x − x + x + x − . 注意：将 f (x) 表成 x − 的方幂和，把 写在综合除法的左边，将 x − 的方 幂和展开成 x 的多项式，那么相当于将 f (x) 表成 (x − c) + c 的方幂和，要把−c 写 在综合除法的左边
