§6行列式按一行(列)展开 在§4看到,对于n级行列式,有 a12 a,an aa 现在来研究这些A,i,j=1,2,…,n究竟是什么 三级行列式可以通过二级行列式表示: a1!a1 21 a 定义7在行列式 中划去元素a所在的第i行与第j列,剩下的(n-1)2个元素按原来的排法构成 个n-1级行列式 a1+1,n 称为元素an的余子式,记作M 下面证明 为此先证明n级行列式与n-1级行列式的下面这个关系
§6 行列式按一行(列) 展开 在§4 看到，对于 n 级行列式，有 a A a A a A i n a a a a a a a a a i i i i i n i n n n n n i i i n n , 1,2, , 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = + + + = . (1) 现在来研究这些 Aij , i , j = 1,2, ,n 究竟是什么. 三级行列式可以通过二级行列式表示： 31 33 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + . (2) 定义 7 在行列式 n nj nn i ij in j n a a a a a a a a a 1 1 11 1 1 中划去元素 ij a 所在的第 i 行与第 j 列，剩下的 2 (n −1) 个元素按原来的排法构成一 个 n −1 级行列式 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 11 1, 1 1, 1 1 − + + + − + + + − − − − + − − + (3) 称为元素 ij a 的余子式，记作 M ij 下面证明 ij i j Aij M + = (−1) . (4) 为此先证明 n 级行列式与 n −1 级行列式的下面这个关系
a21a22 21a22 (5) an-lI an-12 n-1,n-1an-1,n 0 an-li a 定义8上面所谈到的A称为元素an的代数余子式 这样,公式(1)就是说,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的 乘积之和在(1)中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如说,第k行的元素, 也就是 于是 a 右端的行列式含有两个相同的行,应该为零,这就是说,在行列式中,一行的元 素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零 定理3设 a1!a12 A,表示元素an的代数余子式,则下列公式成立 akA1+ak2A2+…+abAn ∫d,当k=i, A4+a2A2y+…+a 用连加号简写为
1,1 1,2 1, 1 2 1 2 2 2, 1 1 1 1 2 1, 1 1,1 1,2 1, 1 1, 2 1 2 2 2, 1 2 1 1 1 2 1, 1 1 0 0 0 1 − − − − − − − − − − − − − = n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . （5） 定义 8 上面所谈到的 Aij 称为元素 ij a 的代数余子式. 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的 乘积之和.在(1)中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如说，第 k 行的元素， 也就是 a a , j 1,2, ,n,k i . ij = kj = 于是 n n n k kn k kn n k i k i kn i n a a a a a a a a a A a A a A 1 1 1 11 1 1 1 + 2 2 + + = 右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元 素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理 3 设 n n nn n n a a a a a a a a a d 1 2 21 22 2 11 12 1 = Aij 表示元素 ij a 的代数余子式，则下列公式成立： = + + + = 0 , . , , 1 1 2 2 k i d k i ak Ai ak Ai akn Ain 当 当 (6) = + + + = 0 , . , , 1 1 2 2 l j d l j a l A j a l A j anl Anj 当 当 (7) 用连加号简写为
d,当k=i A 0,当k≠ an≈Jd,当1=j, 0,当l≠ 在计算数字行列式时,直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算,因为把 个n级行列式的计算换成n个(n-1)级行列式的计算并不减少计算量,只是在 行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用公式(6或(7)才有意义但这两个 公式在理论上是重要的 例1计算行列式 51000 2 12313 10 40 例2行列式 称为n级的范德蒙德( Vandermonde)行列式证明对任意的n(n≥2),n级范德蒙德 行列式等于a1,a2…,an这n个数的所有可能的差a1-a1(1≤j<i≤m)的乘积 用连乘号,这个结果可以简写为 由这个结果立即得出,范德蒙德行列式为零的充要条件是a1a2…,an这n个数中 至少有两个相等 例3证明
= = = 0 , ; , , 1 k i d k i aks Ais n s 当 当 = = = 0 , . , , 1 l j d l j asl Asj n s 当 当 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把 一个 n 级行列式的计算换成 n 个( n −1 )级行列式的计算并不减少计算量，只是在 行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个 公式在理论上是重要的. 例 1 计算行列式 0 2 3 5 0 0 4 1 4 0 0 2 3 1 0 1 7 2 5 2 5 3 1 2 0 − − − − 例 2 行列式 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 1 − − − − = n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d (8) 称为 n 级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的 n(n 2) ，n 级范德蒙德 行列式等于 a a an , , , 1 2 这 n 个数的所有可能的差 a a (1 j i n) i − j 的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写为 − − − − = − j i n i j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 ( ) 1 1 1 1 . 由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是 a a an , , , 1 2 这 n 个数中 至少有两个相等. 例 3 证明
a1 0 b 0 b
r r rr k kkk r r k r r r k r k kkk b b b b a a a a c c b b c c b b a a a a 1 11 1 1 11 1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 0 0 0 0 =