北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.4）矩阵的逆

§4矩阵的逆 、可逆矩阵的概念 在§2我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算矩阵的乘法是否 也和复数一样有逆运算呢?这就是本节所要讨论的问题 这一节矩阵,如不特别声明,都是n×n矩阵 对于任意的级方阵A都有 AE= EA=A 这里E是n级单位矩阵因之,从乘法的角度来看,n级单位矩阵在级方阵中的地 位类似于1在复数中的地位一个复数a≠0的倒数可以用等式 来刻划,相仿地,我们引入 定义7n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得 AB= BA=E 这里E是n级单位矩阵 首先我们指出,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才能满足(1).其次,对于任 意的矩阵A,适合等式(1)的矩阵B是唯一的(如果有的话) 定义8如果矩阵B适合(1),那么B就称为A的逆矩阵,记为A-1 二、可逆矩阵的逆矩阵的求法 下面要解决的问题是:在什么条件下矩阵A是可逆的?如果A可逆,怎样求 A-? 定义9设A是矩阵 A 中元素an的代数余子式,矩阵

§4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 在§2 我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否 也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题. 这一节矩阵，如不特别声明，都是 nn 矩阵. 对于任意的级方阵 A 都有 AE = EA = A 这里 E 是 n 级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看， n 级单位矩阵在级方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位.一个复数 a  0 的倒数可以用等式 1 1 = − aa 来刻划，相仿地，我们引入 定义 7 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有 n 级方阵 B ，使得 AB = BA = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任 意的矩阵 A ，适合等式(1)的矩阵 B 是唯一的(如果有的话). 定义 8 如果矩阵 B 适合(1)，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记为 −1 A . 二、可逆矩阵的逆矩阵的求法 下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 −1 A ？ 定义 9 设 Aij 是矩阵               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 中元素 ij a 的代数余子式，矩阵

Au A A, A A A An A 称为矩阵A的伴随矩阵 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出 o d AA =AA= = dE 00 其中d=A 如果d=A≠=0,那么由(2)得 A=GA)A=E 定理3矩阵A可逆的充要条件是A非退化的,而 (d=A≠0) 根据定理3容易看出,对于n级方阵A.B,如果 AB=E 那么A,B就都是可逆的并且它们互为逆矩阵 定理3不但给出了一矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式(4)按 这个公式来求逆矩阵,计算量一般是非常大的在以后我们将给出另一种求法 由)可以看出,如果|A=d≠0,那么 IA-Fd 推论如果矩阵A,B可逆,那么A与AB也可逆,且 (AB)=B-A-1 利用矩阵的逆,可以给出克拉默法则的另一种推导法线性方程组

              = n n nn n n A A A A A A A A A A       1 2 12 22 2 11 21 1 * 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出： dE d d d AA A A =               = =       0 0 0 0 0 0 * * , (2) 其中 d =| A |. 如果 d =| A | 0 ，那么由(2)得 A A E d A d A = ) = 1 ) ( 1 ( * * . (3) 定理 3 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 非退化的，而 ( | | 0) 1 1 * = =  − A d A d A 根据定理 3 容易看出，对于 n 级方阵 A, B ，如果 AB = E 那么 A, B 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵. 定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按 这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法. 由(5)可以看出，如果 | A |= d  0 ，那么 1 1 | | − − A = d 推论 如果矩阵 A, B 可逆，那么 A 与 AB 也可逆，且 ( ) ( ) 1 1  =  − − A A 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . 利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组

aux,+aux,+.+a,x,=b, 2x+a2x2+…+a2nxn=b2, Ix= b 可以写成 AX=B 如果|A≠0,那么A可逆用 代入(6),得恒等式A(A-B)=B,这就是说AB是一个解 如果 X=C 是(6)的一个解,那么由 AC=B A(AC)=AB, 即 C=A B 这就是说,解X=AB是唯一的用A-的公式(4)代入,乘出来就是克拉默法则 中给出的公式 定理4A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,O是n×n可逆矩阵, 那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AO)

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 可以写成 AX = B . (6) 如果 | A | 0 ，那么 A 可逆.用 X A B −1 = 代入(6)，得恒等式 A A B = B − ( ) 1 ，这就是说 A B −1 是一个解. 如果 X = C 是(6)的一个解，那么由 AC = B 得 A AC A B 1 1 ( ) − − = , 即 C A B −1 = . 这就是说，解 X A B −1 = 是唯一的.用 −1 A 的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则 中给出的公式. 定理 4 A 是一个 sn 矩阵，如果 P 是 ss 可逆矩阵， Q 是 nn 可逆矩阵， 那么 秩（ A ）=秩（ PA ）=秩（ AQ ）