§4特征值与特征向量 、线性变换的特征值和特征向量的概念 定义4设是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数 ,存在一个非零向量,使得 A5=A05 (1) 那么λ称为理的一个特征值,而ξ叫做理的属于特征值的一个特征向量 从几何上来看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这 时或者方向不变(0>0)或者方向相反(0<0),至于(42=0)时,特征向量就被线 性变换变成0 如果ξ是线性变换A的属于特征值λ的特征向量,那么的任何一个非零倍 数κz也是的属于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯 决定的.相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的,因为,一个特征向量只能 属于一个特征值 、特征值与特征向量的求法 设V是数域P上n维线性空间,E1,E2,…En是它的一组基,线性变换A在这 组基下的矩阵是A.设λ是特征值,它的一个特征向量ξ在E1,E2,…,En下的坐标 是x012x2,…,xon,则的坐标是 45的坐标是
§4 特征值与特征向量 一、线性变换的特征值和特征向量的概念 定义 4 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换,如果对于数域 P 中一数 0 ,存在一个非零向量 ,使得 A = 0 . （1） 那么 0 称为 A 的一个特征值,而 叫做 A 的属于特征值 0 的一个特征向量. 从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这 时或者方向不变 ( 0) 0 或者方向相反 ( 0) 0 ,至于 ( 0) 0 = 时，特征向量就被线 性变换变成 0. 如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一个非零倍 数 k 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一 决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能 属于一个特征值. 二、特征值与特征向量的求法 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， n , , , 1 2 是它的一组基，线性变换 A 在这 组基下的矩阵是 A .设 0 是特征值，它的一个特征向量 在 n , , , 1 2 下的坐标 是 n x x x 01 02 0 , , , ,则 A 的坐标是 n x x x A 0 02 01 . 0 的坐标是 n x x x 0 02 01 0
因此(1)式相当于坐标之间的等式 x 或 这说明特征向量ξ的坐标(xo1,xm2,…,xon)满足齐次方程组 ax,+an2x2+.+am,=do-x a21x1+a2x2+…+a2nxn=1x2, +a,x2+…+aX=x 即 (0-a1)x1-a12x2 a,x=0, a21x1+(1-a2)x2-…-a2nxn=0 anx-an2x2-.+(o-ann)x 由于5≠0,所以它的坐标x1,x2,…,xn不全为零,即齐次方程组有非零解.而齐 次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零,即 AE一4 a210 2n an 10 定义5设A是数域P上一个n级矩阵,λ是一个数字矩阵AE-A的行列式 1-a2 叫做矩阵A的特征多项式,这是数域P上的一个n次多项式 上面的分析说明,如果λ是线性变换的特征值,那么A0一定是矩阵A的
因此（1）式相当于坐标之间的等式 = n n x x x x x x A 0 02 01 0 0 02 01 (2) 或 ( ) 0 0 02 01 0 = − n x x x E A 这说明特征向量 的坐标 ( , , , ) 01 02 0n x x x 满足齐次方程组 + + + = + + + = + + + = , , , 1 1 2 2 0 21 1 22 2 2 0 2 11 1 12 2 1 0 1 n n nn n n n n n n a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x x 即 − − − + − = − + − − − = − − − − = ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , 1 1 2 2 0 21 1 0 22 2 2 0 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (3) 由于 0 ,所以它的坐标 n x x x 01 02 0 , , , 不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐 次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即 0 1 2 0 21 0 22 2 0 11 12 1 0 = − − − − − − − − − − = n n nn n n a a a a a a a a a E A . 定义 5 设 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵, 是一个数字.矩阵 E − A 的行列式 . 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a E A − − − − − − − − − − = (4) 叫做矩阵 A 的特征多项式,这是数域 P 上的一个 n 次多项式. 上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特征值，那么 0 一定是矩阵 A 的
特征多项式的一个根;反过来,如果是矩阵A的特征多项式在数域P中的 个根,即E-A=0,那么齐次方程组(3)就有非零解这时,如果 (x12x2,…,xon)是方程组(3)的一个非零解,那么非零向量 5=x0151 …+xonE 满足(1),即λ是线性变换的一个特征值,ξ就是属于特征值A0的一个特征 向量. 因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步: 1.在线性空间V中取一组基E1,52…,n,写出在这组基下的矩阵A; 2求出A的特征多项式12E一4在数域P中全部的根,它们也就是线性变换 的全部特征值 3.把所求得的特征值逐个地代入方程组(3),对于每一个特征值,解方程组 (3),求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量 在基E1,E2…,En下的坐标,这样,也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的 特征向量 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,而相应的线性方程组(3) 的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量. 例1在n维线性空间中,数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是kE,它的 特征多项式是 E-kE=(-k)”. 因此,数乘变换K的特征值只有k,由定义可知,每个非零向量都是属于数 乘变换κ的特征向量 例2设线性变换A在基E1,E2,53下的矩阵是
特征多项式的一个根；反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数域 P 中的一 个 根 ，即 0E − A = 0 ， 那 么 齐 次方 程组 （ 3） 就 有非 零 解. 这时 ， 如 果 ( , , , ) 01 02 0n x x x 是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量 ) 01 1 02 2 0n n = x + x ++ x 满足（1），即 0 是线性变换 A 的一个特征值， 就是属于特征值 0 的一个特征 向量. 因此确定一个线性变换 A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步： 1.在线性空间 V 中取一组基 n , , , 1 2 ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ； 2.求出 A 的特征多项式 0E − A 在数域 P 中全部的根，它们也就是线性变换 A 的全部特征值； 3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组 （3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量 在基 n , , , 1 2 下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的 特征向量. 矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的线性方程组（3） 的解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量. 例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任意一组基下的矩阵都是 kE ，它的 特征多项式是 n E − kE = ( − k) . 因此，数乘变换 K 的特征值只有 k ，由定义可知，每个非零向量都是属于数 乘变换 K 的特征向量. 例 2 设线性变换 A 在基 1 2 3 , , 下的矩阵是
122 221 求的特征值与特征向量 例3在空间P[x]n中,线性变换 Df(x)=f(x) 在基1x 下的矩阵是 D 000 000 0 D的特征多项式是 -10 0-1 000 因此,D的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道,属于特征值0的 线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零 或非零的常数 例4平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间,§1例1中旋转牙 在直角坐标系下的矩阵为 cos -sin e 0 cos0 它的特征多项式为 cose =2-2Acos+1 sin 6 -cos0 当O≠k时,这个多项式没有实根因之,当≠k时,。没有特征值.从几何
= 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , 求 A 的特征值与特征向量. 例 3 在空间 n P[x] 中，线性变换 D f (x) = f (x) 在基 ( 1)! , , 2! 1, , 2 1 − − n x x x n 下的矩阵是 = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 D D 的特征多项式是 n E D = − − − − = 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 . 因此， D 的特征值只有 0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值 0 的 线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零 或非零的常数. 例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1 例 1 中旋转 ℱ 在直角坐标系下的矩阵为 − sin cos cos sin 它的特征多项式为 2 cos 1 sin cos cos sin 2 = − + − − − 当 k 时，这个多项式没有实根.因之，当 k 时，ℱ 没有特征值.从几何
上看,这个结论是明显的 容易看出,对于线性变换A的任一个特征值λ,全部适合条件 的向量α所成的集合,也就是A的属于A0的全部特征向量再添上零向量所成的 集合,是V的一个子空间,称为A的一个特征子空间,记为V2显然,V的维 数就是属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数用集合记号可写为 ={ax|Aa=1a,a∈V 在线性变换的研究中,矩阵的特征多项式是重要的下面先来看一下它的系 数.在 J2E-A 的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积 (-a14-a2)…(4-amn) 展开式中的其余项,至多包含n-2个主对角线上的元素,它对λ的次数最多是 n-2.因此特征多项式中含A的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘 积中出现,它们是 -(a1+a2+…+am) 在特征多项式中令A=0,即得常数项A=(-1)|4 因此,如果只写特征多项式的前两项与常数项,就有 疋E一4=-(a1+a2+…+am)m-+…+(-1)A 由根与系数的关系可知,A的全体特征值的和为a1+a2+…+an(称为A的 迹).而的A全体特征值的积为A 特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中,任取一组基后, 特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同,线性变
上看，这个结论是明显的. 容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值 0 ，全部适合条件 A = 0 的向量 所成的集合，也就是 A 的属于 0 的全部特征向量再添上零向量所成的 集合，是 V 的一个子空间，称为 A 的一个特征子空间，记为 0 V .显然， 0 V 的维 数就是属于 0 的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为. V = | A = 0 , V 0 在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系 数.在 . 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a E A − − − − − − − − − − = 的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积 ( )( ) ( ) − a11 − a22 − ann 展开式中的其余项，至多包含 n − 2 个主对角线上的元素，它对 的次数最多是 n − 2.因此特征多项式中含 的 n 次与 n−1 次的项只能在主对角线上元素的连乘 积中出现，它们是 1 11 22 ( ) − − + + + n nn n a a a . 在特征多项式中令 = 0 ，即得常数项 A A n − = (−1) . 因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有 E A a a a A n n nn n ( ) ( 1) 1 − = − 11 + 22 + + + + − − . (5) 由根与系数的关系可知， A 的全体特征值的和为 a11 + a22 ++ ann （称为 A 的 迹）.而的 A 全体特征值的积为 A . 特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后， 特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变
换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的,对于相似矩阵有 定理6相似矩阵有相同的特征多项式. 定理6说明,线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关,它直接被线性 变换所决定的.因此,以后就可以说线性变换的特征多项式了 既然相似的矩阵有相同的特征多项式,当然特征多项式的各项系数对于相似 的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项,得到相似矩阵有相同的行列 式.因此,以后就可以说线性变换的行列式 应该指出,定理6的逆是不对的,特征多项式相同的矩阵不一定是相似的. 例如 0D).a(0 它们的特征多项式都是(-1),但A和B不相似,因为和A相似的矩阵只能是A 本身 哈密顿-凯莱( Hamilton- Caylay)定理设A是数域P上一个n×n矩阵 f(4)=E-A是A的特征多项式,则 f(4)=A"-(a1+a2+…+am)A+…+(-1)”AE=0 推论设是有限维空间V的线性变换,f(4)是A的特征多项式,那么 f()=0
换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有 定理 6 相似矩阵有相同的特征多项式. 定理 6 说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性 变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了. 既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似 的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列 式.因此，以后就可以说线性变换的行列式. 应该指出，定理 6 的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的. 例如 = = 0 1 1 1 , 0 1 1 0 A B 它们的特征多项式都是 ( −1) ，但 A 和 B 不相似，因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身. 哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设 A 是数域 P 上一个 nn 矩阵， f () = E − A 是 A 的特征多项式，则 ( ) ( ) ( 1) 0 1 = − 11 + 22 + + + + − = − f A A a a a A AE n n nn n 推论 设 A 是有限维空间 V 的线性变换， f () 是 A 的特征多项式，那么 f (A)=ℴ