§2线性变换的运算 、线性变换的乘法 设用,是线性空间V的两个线性变换,定义它们的乘积为 (B(a)=凡,B(a)(a∈V) 则线性变换的乘积也是线性变换 线性变换的乘法适合结合律,即 CAC=A(BC) 但线性变换的乘法不适合交换律例如,在实数域上的线性空间中,线性变换 (f(x))=f(x) 9(f(x)=[f() 的乘积o乎=E,但一般∮D≠E 对于任意线性变换A,都有 =E=月 二、线性变换的加法 设是线性空间V的两个线性变换,定义它们的和A+B为 A+B(a)=A(a)+B(a (a∈V) 则线性变换的和还是线性变换 线性变换的加法适合结合律与交换律,即 +B=B+ 对于加法,零变换O与所有线性变换A的和仍等于A A+O=闭 对于每个线性变换A,可以定义它的负变换(-用): A)(a)=-A(a)(a∈V
§2 线性变换的运算 一、线性变换的乘法 设 A,,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)( )= A,(B ( )) ( V ). 则线性变换的乘积也是线性变换. 线性变换的乘法适合结合律，即 (AB)C=A(BC). 但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换 D（ f (x) ）= f (x) . ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt 的乘积 D ℐ=ℰ，但一般 ℐD≠ℰ. 对于任意线性变换 A，都有 Aℰ=ℰA = A. 二、线性变换的加法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为 (A+B)( )= A ( )+B ( ) ( V ). 则线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法适合结合律与交换律，即 A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A. 对于加法，零变换 ℴ 与所有线性变换 A 的和仍等于 A： A+ℴ=A. 对于每个线性变换 A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)( )=- A ( ) ( V )
则负变换(-)也是线性变换,且 +(-团)= 线性变换的乘法对加法有左右分配律,即 A(B+C=AB+AC (B+C)A=BA+CA 三、线性变换的数量乘法 数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为 kA=KA k(a)=K((a)=(a), 当然A还是线性变换线性变换的数量乘法适合以下的规律: (kDA=k(1A) (k+D)=k A+lA k(团+B)=kA+kB, 1团=星. 线性空间V上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域P上 一个线性空间 的变换称为可逆的,如果有V的变换B存在,使 这时,变换B称为A的逆变换,记为x-1.如果线性变换A是可逆的,那么它的 逆变换A-1也是线性变换 既然线性变换的乘法满足结合律,当若干个线性变换重复相乘时,其最 终结果是完全确定的,与乘法的结合方法无关因此当n个(n是正整数)线性变 换A相乘时,就可以用
则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA. 三、线性变换的数量乘法 数域 P 中的数与线性变换 A 的数量乘法定义为 k A =KA 即 k A( )=K(A ( ))=KA ( ), 当然 A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (kl) A= k ( l A), (k + l) A= k A+ l A, k (A+B)= k A+ k B, 1A=A. 线性空间 V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上 一个线性空间. V 的变换 A 称为可逆的，如果有 V 的变换 B 存在，使 AB=BA=E. 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A −1 .如果线性变换 A 是可逆的，那么它的 逆变换 A −1 也是线性变换. 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 A 重复相乘时，其最 终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当 n 个（ n 是正整数）线性变 换 A 相乘时，就可以用
来表示,称为用的n次幂,简记为”.作为定义,令 A0= 根据线性变换幂的定义,可以推出指数法则 m=m理”,(④)”=用m"(m,n≥0) 当线性变换可逆时,定义A的负整数幂为 n=(q-)"(n是正整数) 值得注意的是,线性变换乘积的指数法则不成立,即一般说来 设 f(x)=amx"+am1x+…+a 是P[x]中一多项式,是V的一个线性变换,定义 f()= +aE 显然∫(是一线性变换,它称为线性变换理的多项式 不难验证,如果在Px]中 h(x)=f(x)+g(x),(x)=f(x)g(x) 那么 h()=f(用)+g(用),p(用)=∫(用g(用) 特别地 f()g(a)=g(用)f( 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的 例1在三维几何空间中,对于某一向量a的内射影∏是一个线性变换 ∏l可以用下面的公式来表示:
n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0= E. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A m+n =A m A n ,(A m ) n =A m n (m, n 0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A −n =(A −1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) n A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m = m + + + − − 是 P[x] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f (A)= m a A m + am−1 A m−1 +…+ 0 a E 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P[x] 中 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x)g(x), 那么 h (A)= f ( A)+ g ( A), p (A)= f ( A) g ( A). 特别地， f (A) g ( A)= g ( A) f ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 例 1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影 是一个线性变换. 可以用下面的公式来表示：
n()=(a5 (a, a 其中(a,5,(a,a)表示向量的内积 从图2不难看出,2在以a为法向量的平面x上的内射影∏2()可以用公式 ∏1()=5-∏2() 表示.因此 ∏1=E-∏ 这里￡是恒等变换 z对于平面x的反射巩,也是一个线性变换,它的像由公式 巩,(2)=2-2∏。() 给出.因此 巩,=-2∏l 设a,B是空间的两个向量显然,a与B互相垂直的充要条件为 ∏a∏ 例2在线性空间Pn中,求微商是一个线性变换,用D表示.显然有 其次,变换的平移 ∫(4)→f(2+a)a∈P 也是一个线性变换,用y。表示,根据泰勒展开式 f(4+a)=f(4)+f(4)+f"(A)+…+,fm-)() 因之9。实质上是的多项式 9。=E+aD
( , ) ( , ) ( ) = . 其中 (, ),(,) 表示向量的内积. 从图 2 不难看出， 在以 为法向量的平面 x 上的内射影 ( ) x 可以用公式 ( ) ( ) x = − 表示.因此 x = ℰ- . 这里 ℰ 是恒等变换. 对于平面 x 的反射 ℛ x 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ ( ) 2 ( ) x = − 给出.因此 ℛ x =ℰ-2 . 设 , 是空间的两个向量.显然， 与 互相垂直的充要条件为 = ℴ 例 2 在线性空间 P n [] 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示.显然有 D = n ℴ. 其次，变换的平移 f () → f ( + a) a P 也是一个线性变换，用 ℐ a 表示.根据泰勒展开式 ( ) ( 1)! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 − − − + = + + + + n n f n a f a f a f af , 因之 ℐ a 实质上是℄的多项式： ℐ a =ℰ+ a D+ 2! 2 a D 2 +…+ ( 1)! 1 − − n a n D n−1
