北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第八章 λ－矩阵（8.4）矩阵相似的条件

§4矩阵相似的条件 在求一个数字矩阵A的特征值和特征向量时曾出现过λ-矩阵AE-A,我们 称它A为的特征矩阵这一节的主要结论是证明两个n×n数字矩阵A和B相似的 充要条件是它们的特征矩阵E-A和E一B等价 引理1如果有nxn数字矩阵P,Q使 ME-A= PO(E- B)Q 则A和B相似 引理2对于任何不为零的n×n数字矩阵A和A-矩阵U(4)与(A),一定存 在A-矩阵Q(4)与R(4)以及数字矩阵U和V使 U(4)=(E-A)Q4)+U V()=R()E-A)+1 定理7设A,B是数域P上两个n×n矩阵.A与B相似的充要条件是它们 的特征矩阵A-A和E-B等价 矩阵A的特征矩阵AE-A的不变因子以后简称为A的不变因子因为两个 λ-矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子,所以由定理7即得 推论矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子 应该指出,n×n矩阵的特征矩阵的秩一定是n.因此,n×n矩阵的不变因子 总是有n个,并且,它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式 以上结果说明,不变因子是矩阵的相似不变量,因此我们可以把一个线性变 换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变 因子

§4 矩阵相似的条件 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾出现过  −矩阵 E − A,我们 称它 A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个 nn 数字矩阵 A 和 B 相似的 充要条件是它们的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 引理 1 如果有 nn 数字矩阵 0 0 P ,Q 使 0 0 E − A = P (E − B)Q , (1) 则 A 和 B 相似. 引理 2 对于任何不为零的 nn 数字矩阵 A 和  −矩阵 U () 与 V() ，一定存 在  −矩阵 Q() 与 R() 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 0 U() = (E − A)Q() +U , (2) 0 V() = R()(E − A) +V . (3) 定理 7 设 A ， B 是数域 P 上两个 nn 矩阵. A 与 B 相似的充要条件是它们 的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 矩阵 A 的特征矩阵 E − A 的不变因子以后简称为 A 的不变因子.因为两个  −矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得 推论 矩阵 A 与 B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子. 应该指出， nn 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n .因此， nn 矩阵的不变因子 总是有 n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式. 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变 换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变 因子