第一章集合与映射 集 集合论的基础是由德国数学家 Cantor在19世纪70年代奠定 的 集合:指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总 体 这些具体的或抽象的对象称为该集合的元素
第一章 集合与映射 §1 集 合 集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定 的。 集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总 体。 这些具体的或抽象的对象称为该集合的元素
第一章集合与映射 集 集合论的基础是由德国数学家 Cantor在19世纪70年代奠定 的 集合:指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总 体 这些具体的或抽象的对象称为该集合的元素。 通常用大写字母如A,B,S,T,…表示集合, 用小写字母如a,b,x,y,…表示集合的元素
通常用大写字母如 A,,,, B S T …表示集合， 用小写字母如abxy ,,, ,…表示集合的元素。 第一章 集合与映射 §1 集 合 集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定 的。 集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总 体。 这些具体的或抽象的对象称为该集合的元素
若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。 若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∈S。 全体正整数的集合,全体整数的集合,全体有理数的集合,全 体实数的集合是我们常用的集合,习惯上分别用字母N,Z,Q和 R来表示
若 x 是集合S 的元素，则称 x 属于S ，记为 x ∈S 。 若 y不是集合S 的元素，则称 y不属于S ，记为 ∈ Sy 。 全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全 体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 ，， QZN+ 和 R 来表示
若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。 若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∈S。 全体正整数的集合,全体整数的集合,全体有理数的集合,全 体实数的集合是我们常用的集合,习惯上分别用字母N,Z,Q和 R来表示。 集合表示法 (1)枚举法: 光学中的三基色可以用集合{红,绿,蓝}表示; 由a,b,c,d四个字母组成的集合A可用A={a,.c,d4}表示 正整数集N可以表示为N={1,23,…,n,…} 整数集Z可以表示为Z={0,±1,±2,±3,…,±n,…}
集合表示法 （1）枚举法： 光学中的三基色可以用集合{红，绿，蓝}表示； 由abcd ,,, 四个字母组成的集合 A可用 A abcd = {,,, }表示； 正整数集 + N 可以表示为 = n，，，，， "" }321{ + N ； 整数集Z可以表示为Z = ± ± ± 3210{ ± n，，，，，， "" }。 若 x 是集合S 的元素，则称 x 属于S ，记为 x ∈S 。 若 y不是集合S 的元素，则称 y不属于S ，记为 ∈ Sy 。 全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全 体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 ，， QZN+ 和 R 来表示
(2)描述法:S={x|x具有性质P} 由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}; 有理数集Q可以表示为Q=x|x=9,其中p∈N并且q∈z 正实数集R可以表示为R+={xx∈R并且x>0}
（2）描述法： S xx P = { } 具有性质 。 由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B xx = = { } 2 2 ； 有理数集Q可以表示为 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ == ∈ ∈ + Q p N q Z pq xx ，其中 并且 ； 正实数集 + R 可以表示为 { >∈= }0 + R R并且xxx
(2)描述法:S={xx具有性质P}。 由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2} 有理数集Q可以表示为Q={xx=9,其中p∈N并且q∈z}; 正实数集R可以表示为R={xx∈R并且x>0 注集合中的元素之间并没有次序关系。 例:{a,b、a}和{a,b,a}表示同一个集合
注 集合中的元素之间并没有次序关系。 例：{,} a b 、{, } b a 和{,,} aba 表示同一个集合。 （2）描述法： S xx P = { } 具有性质 。 由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B xx = = { } 2 2 ； 有理数集Q可以表示为 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ == ∈ ∈ + Q p N q Z pq xx ，其中 并且 ； 正实数集 + R 可以表示为 { >∈= }0 + R R并且xxx
空集:一类特殊的集合,它不包含任何元素,称之为空集, 记为。 例:{x∈R并且x2+1=0}=
空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为∅。 例：{ }01 2 ∈ R并且xxx =+ = ∅
空集:一类特殊的集合,它不包含任何元素,称之为空集, 记为。 例:{x∈R并且x2+1=0}=。 子集:若x∈S→x∈T,则称S是T的子集,记为ScT。 例: N'CZCQCR 注对任何集合S,都有ScS与必cS
子集：若 xS x ∈ ⇒ ∈T ，则称S 是T的子集，记为S ⊂ T 。 例： ⊂⊂⊂ RQZN+ 。 注 对任何集合S ，都有S S ⊂ 与∅ ⊂ S 。 空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为∅。 例：{ }01 2 ∈ R并且xxx =+ = ∅
空集:一类特殊的集合,它不包含任何元素,称之为空集, 记为。 例:{x∈R并且x2+1=0}=。 子集:若x∈S→x∈T,则称S是T的子集,记为ScT。 例: N'CZCQCR 注对任何集合S,都有ScS与必cS。 如果S中至少存在一个元素x不属于T,即存在x∈S,使 x∈T,则S不是T的子集,记为SgT。 例:{x 0}N
如果 S 中至少存在一个元素 x不属于T ，即存在 x S ∈ ，使 ∈ Tx ，则 S 不是T的子集，记为S ⊄ T 。 例：{ } x x 2 − =1 0 ⊄ + N 。 空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为∅。 例：{ }01 2 ∈ R并且xxx =+ = ∅。 子集：若 xS x ∈ ⇒ ∈T ，则称S 是T的子集，记为S ⊂ T 。 例： ⊂⊂⊂ RQZN+ 。 注 对任何集合S ，都有S S ⊂ 与∅ ⊂ S
例1.1.1T={a,b,c}有23个子集 {a},{b},{c}; {a,b},{b,c},{c,a}; T={a1,a2,…,an}有2"个子集
例 1.1.1 T abc = { } ， ， 有23 个子集： ∅ ； { } a ，{ } b ，{ }c ； { } a b ， , { } b c ， , { } c a ， ； { } abc ， ， 。 T aa a = n { } 1 2 ，，，" 有2n 个子集