第十三章重积分 §1有界闭区域上的重积分 面积 在一元定积分中已经学过计算曲边梯形等平面图形的面积,但是 并不能将其简单照搬到一般的平面点集上,因为一般平面点集是否有 面积还是一个问题。为此,先引入面积的定义
面积 在一元定积分中已经学过计算曲边梯形等平面图形的面积，但是 并不能将其简单照搬到一般的平面点集上，因为一般平面点集是否有 面积还是一个问题。为此，先引入面积的定义。 第十三章 重积分 §1 有界闭区域上的重积分
设D为R2上的有界子集。设U=[a,b]×c,d为包含D的一个闭矩 形。在[an,b中插入分点 <x <x,=b; 在[c,d中插入分点 c=Vo <yI ym=d 过这些分点作平行于坐标轴的直线,将U分成许多小矩形 x21,x]×y=,y,i=1,2,…,j=12, 这称为U的一个划分(见图13.1.1)。 图131.1
设 D 为 2 R 上的有界子集。设 U= × dcba ],[],[ 为包含 D 的一个闭矩 形。在[,] a b 中插入分点 ax x x b = 0 1 < <"< n = ； 在[, ] c d 中插入分点 cy y y d = 0 1 < <"< m = ； 过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U 分成许多小矩形 ,1 1 [ , ][ , ] ij i i j j x x y y U = − − × ， = " = ",,2,1;,,2,1 mjni ， 这称为 U 的一个划分（见图 13.1.1）。 D 图13.1.1
记完全包含于D内的那些小矩形的面积之和为mA,与D的交集 非空的那些小矩形的面积之和为mB,则显然有m4≤mB。 利用与讨论一元函数定积分的 Darboux和类似的方法容易证明: 若在原有划分的基础上,在[a,b和[cd中再增加有限个分点(所得的 新划分称为原来划分的加细),则mB不增,m4不减;且任意一种划 分所得到的mA不大于任意一种划分所得到的mB 这样,这些mA有一个上确界mD.,mB有一个下确界mD',并且 mD≤mD。 若mD.=mD',则称这个值为D的面积,记为mD,此时称D是可求 面积的
记完全包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为mA，与D的交集 非空的那些小矩形的面积之和为mB，则显然有 ≤ mBmA 。 利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明： 若在原有划分的基础上，在 ba ],[ 和 dc ],[ 中再增加有限个分点（所得的 新划分称为原来划分的加细），则mB 不增，mA不减；且任意一种划 分所得到的mA不大于任意一种划分所得到的mB。 这样，这些mA有一个上确界mD*，mB 有一个下确界 * mD ，并且 * m m D D * ≤ 。 若 * m m D D * = ，则称这个值为 D 的面积，记为 mD ，此时称 D 是可求 面积的
同样可以考虑D的边界∂D的面积。记与D的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mBn,若所有mBn的下确界mD=0(此式蕴涵 mD.=0),则称∂D的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义,通过取加细的方法可以证明D是 可求面积的充分必要条件是:对于任意给定的E>0,存在U的一个 划分,使得 mB-mA(=mB0)<E。 所以有 定理1.1.1有界点集D是可求面积的充分必要条件是它的边界 D的面积为0
同样可以考虑 D 的边界∂ D 的面积。记与∂ D 的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mB∂D ，若所有mB∂D 的下确界 * m∂D = 0（此式蕴涵 * m∂D = 0），则称∂ D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是 可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的ε > 0，存在 U 的一个 划分，使得 − mAmB （= mB∂D ）< ε 。 所以有 定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界 ∂ D 的面积为 0
同样可以考虑D的边界∂D的面积。记与D的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mBn,若所有mBn的下确界mD=0(此式蕴涵 mD.=0),则称∂D的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义,通过取加细的方法可以证明D是 可求面积的充分必要条件是:对于任意给定的E>0,存在U的一个 划分,使得 mB-mA(=mB0)<E。 所以有 定理1.1.1有界点集D是可求面积的充分必要条件是它的边界 D的面积为0。 面积具有可加性,就是说,如果有界点集D由点集D1和D2组成, D1和D2可求面积,且D∩D2=⑧,那么D可求面积,并满足 mD=mD1+mD2
面积具有可加性,就是说，如果有界点集 D 由点集 D1 和 D 2 组成， D1 和 D 2 可求面积，且 1 2 = ∅ D D D D ∩ ，那么 D 可求面积，并满足 m D = mD1 + m D 2。 同样可以考虑 D 的边界 ∂ D 的面积。记与 ∂ D 的交集非空的那些 小矩形的面积之和为mB∂D ，若所有mB ∂D 的下确界 * m ∂D = 0（此式蕴涵 * m ∂D = 0 ），则称 ∂ D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零 边界区域。 利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是 可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 ε > 0，存在 U 的一个 划分，使得 − mAmB （= mB ∂D ） < ε 。 所以有 定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面积的充 分 必要条 件是它的 边 界 ∂ D 的面积为 0
例13.1.1设y=f(x)(a≤x≤b)为非负连续函数。则它与直线 x=a,x=b和y=0所围成的区域D是可求面积的。 y=f(x) D 图13.1.2 证由于f在[a,b]上连续,那么它在[a,b上可积。在[a,b上插入 分点a=x<x1<…<xn=b将{an等分。记M=max{f(x)},那么矩形 U=[a,bx[0,M门就包含了区域D
例 13.1.1 设 y fx a x b = ()( ) ≤ ≤ 为非负连续函数。则它与直线 x = a ， = bx 和 y = 0所围成的区域 D 是可求面积的。 y y fx = ( ) D O x 图 13.1.2 证 由于 f 在[,] a b 上连续，那么它在[,] a b 上可积。在[,] a b 上插入 分点 bxxxa = 10 << " < n = 将[,] a b n等分。记 xfM )}({max≤≤ bxa = ,那么矩形 U= × Mba ],0[],[ 就包含了区域 D。 a b
设m和M分别为f(x)在x1x上的最大、最小值(i=1,2…,n)。 在[0,M上插入分点m,M(i=1,2,…,n),就得到U的一个划分。容易 看出: 包含于D内的那些小矩形的面积之和为mA,=∑m(x1-x)(这 是f的一个 Darboux小和);与D的交集非空的那些小矩形的面积之 和为mB,=∑M(x-x)(这是/的一个 Darboux大和)。 由于 mA.≤mD.≤mD≤mB., 令n→>∞,由f在{a,b]上的可积性及极限的夹逼性得 mD,=mD=f(x)dx 因此D是可求面积的,且面积为/(xAx
设mi和 Mi分别为 f x( ) 在 ],[ 1 ii xx − 上的最大、最小值（ = ",,2,1 ni ）。 在 M ],0[ 上插入分点 Mm ii , （ = ",,2,1 ni ），就得到 U 的一个划分。容易 看出： 包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为mAn = ∑ = − − n i iii xxm 1 1 )( （这 是 f 的一个 Darboux 小和）；与 D 的交集非空的那些小矩形的面积之 和为 ∑ = = − − n i n iii xxMmB 1 1 )( （这是 f 的一个 Darboux 大和）。 由于 * mA m m mB n n ≤≤≤ D D * ， 令n → ∞，由 f 在[,] a b 上的可积性及极限的夹逼性得 * * ( )d b a m m fx x = = D D ∫ 。 因此 D 是可求面积的，且面积为 ( )d b a f x x ∫
在上例中,记曲线y=f(x)(a≤x≤b)为L,那么小矩形 x1,x;m,M,,i=1,2…,n的全体包含L,其面积为 ∑(M-m)x-x-)=∑ 当n→>∞时,它的极限是零。所以L的面积为0 同样可以证明:平面上光滑曲线段的面积为0。因此,若一个有 界区域的边界是分段光滑曲线(即由有限条光滑曲线衔接而成的曲 线),那么这个区域是可求面积的
在上例中，记曲线 y fx a x b = ()( ) ≤ ≤ 为 L，那么小矩形 ],;,[ −1 Mmxx iiii ， = ",,2,1 ni 的全体包含L，其面积为 ∑ = −− − n i iiii xxmM 1 1 ))(( 1 n i i i ω x = = ∑ Δ ， 当n → ∞时，它的极限是零。所以L的面积为 0。 同样可以证明：平面上光滑曲线段的面积为 0。因此，若一个有 界区域的边界是分段光滑曲线（即由有限条光滑曲线衔接而成的曲 线），那么这个区域是可求面积的
注意,并不是所有有界平面点集都是可求面积的。例如,平面点 集 S={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤D(x)} 就不可求面积,这里 x为有理数 D(x) 0,x为无理数 为 Dirichlet函数。事实上,s的边界为as=00.,,它的面积为 这说明s不是可求面积的
注意，并不是所有有界平面点集都是可求面积的。例如，平面点 集 S = {( , ) | 0 1, 0 ( )} xy x y Dx ≤≤ ≤≤ 就不可求面积，这里 ⎩ ⎨ ⎧ = 为无理数 为有理数 x x xD ,0 ,1 , )( 为 Dirichlet 函数。事实上， S 的边界为∂= × S [0,1] [0,1]，它的面积为 1。这说明 S 不是可求面积的
二重积分的概念 考察一个曲顶柱体:它的底是x平面上的具有零边界的有界闭区 域D,顶是非负连续函数z=f(x,y),(x,y)∈D所确定的曲面,侧面是以 D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面。 f(x, y) 图13.1.3
二重积分的概念 考察一个曲顶柱体：它的底是xy平面上的具有零边界的有界闭区 域 D，顶是非负连续函数 z f xy xy = ( , ),( , )∈ D所确定的曲面，侧面是以 D的边界曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面。 z O y x 图 13.1.3 z f xy = (,)