§3Euer积分 Beta函数 形如 B(p, q 0中众 (1-x)d 的含参变量积分称为Beta函数,或第一类 Euler积分
Beta 函数 形如 1 1 1 0 B( , ) (1 ) d p q pq x x x − − = − ∫ 的含参变量积分称为 Beta 函数，或第一类 Euler 积分。 §3 Euler积分
§3 Euler积分 Beta函数 形如 B(p,q)=x-(1-x)-dx 的含参变量积分称为Beta函数,或第一类 Euler积分。 先讨论它的定义域。将Beta函数写成 B(, 9)=(d-x)dx+ x-(1-x)-dx, 当x→0时,x-(1-x)-~x-1,所以只有当p>0时右边第一个反常积 分收敛。而当x→1时,x-(1-x)-~(1-x)-1,所以只有当q>0时右边 第二个反常积分收敛。这说明了∫x(1-x)dx对于每对 (p,q)∈(0,∞)x(0,+∞)收敛,即Beta函数B(p,q)的定义域为 (0,+∞)(0,+∞)
先讨论它的定义域。将 Beta 函数写成 1 2 1 11 11 0 1 2 B( , ) (1 ) d (1 ) d pq pq p q x xx x xx −− −− = −+ − ∫ ∫ , 当 x → 0时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ p−1 x ，所以只有当 p > 0时右边第一个反常积 分收敛。而当x →1时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ 1 )1( − − q x ，所以只有当q > 0 时右边 第二个反常积分收敛。这说明了 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 对于每 对 qp ∈ +∞×+∞ ),0(),0(),( 收敛，即 Beta 函 数 B( , ) p q 的定义域为 +∞ × +∞),0(),0( 。 Beta 函数 形如 1 1 1 0 B( , ) (1 ) d p q pq x x x − − = − ∫ 的含参变量积分称为 Beta 函数，或第一类 Euler 积分。 §3 Euler积分
Beta函数的性质 连续性:BP,q在(0+∞)×(0.+∞)上连续。 证对于任意固定的p>0,q0>0,当p>p,q>q时, s xPo-l (1-x),0≤x≤1, 而∫x~-(1-xy-dx收敛,由 Weierstrass #J法,Jx2(-xydx关于pq 在[n,+∞)×9+)上一致收敛,从而Bpq)=「x2(-xydx在 Ip0,+∞)×[q0,+∞)上连续 由p>0,q0>0的任意性得知B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)上连续
Beta 函数的性质 1．连续性：B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续。 证 对于任意固定的 0,0 0 qp 0 >> ，当 0 0 , >> qqpp 时， 1 1 1 1 0 0 )1()1( − − − − −≤− p q p q xxxx ， ≤ x ≤ 10 ， 而 0 0 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法，1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 关于 p, q 在 ),[),[ 0 +∞ qp 0 +∞× 上一致收敛，从而 B( , ) p q = 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 在 ),[),[ 0 +∞ × qp 0 +∞ 上连续。 由 0,0 0 qp 0 >> 的任意性得知B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续
Beta函数的性质 1.连续性:B(Pq)在(0+∞)x(0,+∞)上连续。 证对于任意固定的p0>0,q0>0,当p>p0,q>q时, s xPo-l (1-x),0≤x≤1, 而∫x~-(1-xy-dx收敛,由 Weierstrass #J法,Jx(-xydx关于pq 在[n,+∞)×9+)上一致收敛,从而Bpq)=「x2(-xydx在 Ip0,+∞)×[q0,+∞)上连续 由p>0,q0>0的任意性得知B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)上连续 2.对称性:B(p,q)=B(q,p),p>0,q>0。 证作变换x=1-t就得到 B(p, q 0p-11-x) (1-)rdt=B(q,p)
2．对称性：B( , ) B( , ) p q qp = ， qp >> 0,0 。 证 作变换 = 1− tx 就得到 1 1 1 1 11 0 0 B( , ) (1 ) d (1 ) d B( , ) p q pq p q x x x t t t qp − − −− = − =− = ∫ ∫ 。 Beta 函数的性质 1．连续性：B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续。 证 对于任意固定的 0,0 0 qp 0 >> ，当 0 0 , >> qqpp 时， 1 1 1 1 0 0 )1()1( − − − − −≤− p q p q xxxx ， ≤ x ≤ 10 ， 而 0 0 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法，1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 关于 p, q 在 ),[),[ 0 +∞ qp 0 +∞× 上一致收敛，从而 B( , ) p q = 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 在 ),[),[ 0 +∞ × qp 0 +∞ 上连续。 由 0,0 0 qp 0 >> 的任意性得知B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续
3.递推公式:B(nq)=4,Bnq-1),p>0.q>1。 p+g 证利用分部积分法得到 B(p,q)=-(1-x)d x"(1-x)-dx P (1-x)y q-B(P,q 1) q B(p, q P 移项整理后就得到递推公式 由B(pq)的对称性并结合递推公式可得到当p>1,qx1时,成立 B(p, q p-1)q-1) B(p-1,q-1) (p+q-1)(p+q-2)
3．递推公式： 1 B( , ) B( , 1) 1 q p q p q p q − = − + − ， qp >> 1,0 。 证 利用分部积分法得到 1 1 1 11 2 0 0 0 1 1 12 11 0 0 11 1 B( , ) (1 ) d (1 ) (1 ) d 1 (1 ) d (1 ) d 1 1 B( , 1) B( , ). qp p q p q pq pq q p q xx x x x xx pp p q x xxx xx p q q p q p q p p −− − −− −− − = − = −+ − − ⎡ ⎤ = −− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − = −− ∫ ∫ ∫ ∫ 移项整理后就得到递推公式。 由B( , ) p q 的对称性并结合递推公式可得到当 qp >> 1,1 时，成立 ( 1)( 1) B( , ) B( 1, 1) ( 1)( 2) p q p q p q pq pq − − = − − +− +−
4.其他表示 (1)作变量代换x=cos2g,得到 B(P,q)=2cos2p-lpsin2g-lpdp 由此可以得到 B 22
4．其他表示： （ 1）作变量代换 ϕ 2 x = cos ，得到 π 2 21 21 0 B( , ) 2 cos sin d p q p q ϕ ϕ ϕ − − = ∫ 。 由此可以得到 1 1 B , π 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
(2)作变量代换x= 得到 1+ ∞ B(P, q 0(1+1)yq= 0(1+t) (1+t) 在最后一个积分中再作变量代换r=1,得到 dt (1+t) (1+u)P+q 于是 B(pa1P+dt(=B))。 0(1+)+9
（ 2）作变量代换 t x + = 1 1 ，得到 1 0 B( , ) d (1 ) q p q t p q t t − +∞ + = + ∫ 1 1 1 0 1 d d (1 ) (1 ) q q p q p q t t t t t t − − +∞ + + = + + + ∫ ∫ 。 在最后一个积分中再作变量代换 u t 1 = ，得到 1 1 1 1 0 d d (1 ) (1 ) q p p q p q t u t u t u − − +∞ + + = + + ∫ ∫ ， 于是 1 1 1 0 B( , ) d (1 ) p q p q t t p q t t − − + + = + ∫ （ = B( , ) q p ）
Gamma函数 形如 r(s) x-e dx 的含参变量积分称为 Gamma函数,或第二类 Euler积分。 先讨论它的定义域。将 Gamma函数写成 [(s)=x-e"dx+"e""dx 由反常积分的收敛判别法,当s≤0时,右边第一个反常积分发散, 而当s>0时,两个反常积分都收敛,因此 Gamma函数r(s)的定 义域为(0,+∞)
Gamma 函数 形如 1 0 () e d s x sxx +∞ − − Γ = ∫ 的含参变量积分称为 Gamma 函数，或第二类 Euler 积分。 先讨论它的定义域。将 Gamma 函数写成 1 1 1 0 1 () e d e d sx sx sx x x x +∞ − − − − Γ= + ∫ ∫ ， 由反常积分的收敛判别法，当s ≤ 0时，右边第一个反常积分发散， 而当s > 0时，两个反常积分都收敛，因此 Gamma 函数Γ s)( 的定 义域为 +∞),0(
Gamma函数的性质 .连续性与可导性:I(s)在(0+∞)上连续且可导 证对于任意闭区间ab]c(0+∞),当s∈[ab]时成立 x e 2,x∈(0,1 而∫xcd收敛,由 Weierstrass #]别法,J,x-'cd关于s在a上 致收敛。又由于当se[a,b时成立 xe-sx"e,x∈[,+∞), 而∫,xcd收敛,由 Weierstra9y别法,J,xdx关于s在ab上 致收敛。 于是rs)=」x-edx关于s在a上一致收敛,从而r(s)在a 上连续。由区间[ab的任意性,可知r(s)在(0+∞)上连续
Gamma 函数的性质 1．连续性与可导性：Γ s)( 在 +∞),0( 上连续且可导。 证 对于任意闭区间 ba +∞⊂ ),0(],[ ，当 ∈ bas ],[ 时成立 xaxs xx −− −− ≤ ee1 1 ，x ∈ ]1,0( ， 而 1 1 0 e d a x x x − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 1 1 0 e d s x x x − − ∫ 关于s在 ba ],[ 上 一致收敛。又由于当 ∈ bas ],[ 时成立 xbxs xx −− −− ≤ ee1 1 ，x +∞∈ ),1[ ， 而 1 1 e d b x x x +∞ − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 1 1 e d s x x x +∞ − − ∫ 关于s在 ba ],[ 上 一致收敛。 于是 1 0 () e d s x sxx +∞ − − Γ = ∫ 关于s 在 ba ],[ 上一致收敛，从而Γ s)( 在 ba ],[ 上连续。由区间 ba ],[ 的任意性，可知Γ s)( 在 +∞),0( 上连续
用同样方法可以证明对于任意闭区间[a,6]c(0,+∞), +∞ +0s-1 关于s在[a上一致收敛,于是利用积分号下求导的定理得到r()在 a,b上可导。由区间a,b的任意性,可知r(s)在(0+∞)上可导,且 In xdx, s>0 0 事实上,仿照以上的方法可得到r(s)在(0,+∞)上任意阶可导,且成 立 x e (n xr"dx, s>0
用同样方法可以证明对于任意闭区间 ba +∞⊂ ),0(],[ ， 1 1 0 0 ( e )d e ln d sx sx x x x xx s +∞ +∞ ∂ − − − − = ∂ ∫ ∫ 关于 s 在 ba ],[ 上一致收敛，于是利用积分号下求导的定理得到 Γ s)( 在 ba ],[ 上可导。由区间 ba ],[ 的任意性，可知 Γ s)( 在 + ∞),0( 上可导，且 1 0 ( ) e ln d s x s x xx +∞ − − Γ = ′ ∫ ，s > 0 。 事实上，仿照以上的方法可得到 Γ s)( 在 + ∞),0( 上任意阶可导，且成 立 ( ) 1 0 ( ) e (ln ) d n s x n s x xx +∞ − − Γ = ∫ ，s > 0
