第五章微分中值定理及其应用 §1微分中值定理 函数极值与 Fermat引理 定义5.1.1设f(x)在(a,b)上有定义,x∈(a,b),如果存在点x的 某一个邻域O(x0δ)<(ab),使得 f(x)≤f(x0),x∈O(x026), 则称x是f(x)的一个极大值点,f(x)称为相应的极大值。 类似地可以定义f(x)的极小值点和极小值(在不需要区分极大和 极小的时候,我们将其统称为极值点和极值。)
函数极值与Fermat引理 定义5.1.1 设 f x( )在(, ) a b 上有定义， 0 x ab ∈(,)，如果存在点 x0的 某一个邻域 ),(),( 0 δ ⊂ baxO ，使得 fx fx () ( ) ≤ 0 ， ),( ∈ xOx 0 δ ， 则称x0是 f x( )的一个极大值点， f x( ) 0 称为相应的极大值。 类似地可以定义 f x( )的极小值点和极小值（在不需要区分极大和 极小的时候，我们将其统称为极值点和极值。） 第五章 微分中值定理及其应用 §1 微分中值定理
从以上的定义可以知道 1.所谓“极大”和“极小”只是指在x附近的一个局部范围中的 函数值的大小关系,因而是一个局部性质。 2.在一个区间内,f(x)的一个极小值完全有可能大于f(x)的某些 极大值。 y 极大值 极小值 极大值 极小值 O 极小值 图5.1
从以上的定义可以知道： ⒈ 所谓“极大”和“极小”只是指在 x 0附近的一个局部范围中的 函数值的大小关系，因而是一个局部性质。 ⒉ 在一个区间内， f x( )的一个极小值完全有可能大于 f ( ) x 的某些 极大值。 极大值 极大值 极小值 极小值 极小值 x y O 图 5.1.1
3.f(x)在一个区间中极值点可以有无数个。如在(0,1)中考虑函数 (x)=sin 则x(2n+D(n=012…)都是f(x)的极值点,当m为偶数时为极大值 2 点,而当n为奇数时为极小值点
⒊ f x( )在一个区间中极值点可以有无数个。如在(,) 0 1 中考虑函数 f x x ( ) sin = 1 ， 则 x n = n + = 2 2 1 012 ( ) ( ,, , ) π " 都是 f x( )的极值点，当 n为偶数时为极大值 点，而当 n为奇数时为极小值点
3.f(x)在一个区间中极值点可以有无数个。如在(0,1)中考虑函数 (x=sin 则x(2n+D(n=012…)都是f(x)的极值点,当m为偶数时为极大值 2 点,而当n为奇数时为极小值点。 4.对极值点的定义并不牵涉到函数的其他性质,如连续、可微 等。比如,对于区间(0)上的 Riemann函数 ,当x=9为(0,1)上的既约分数, R(x) 0,当x为(0,1)上的无理数, (0,1)中的每个有理点都是它的极大值点,每个无理点都是它的极小值 点。而 Riemann函数在每个有理点都不连续,在每个无理点都连续
⒋ 对极值点的定义并不牵涉到函数的其他性质，如连续、可微 等。比如，对于区间 )1,0( 上的Riemann函数 1 , ( 0,1) , ( ) 0, (0,1) , q x R x p p x ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎩ 当 为 上的既约分数 当 为 上的无理数 (,) 0 1 中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值 点。而Riemann函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续。 ⒊ f x( )在一个区间中极值点可以有无数个。如在(,) 0 1 中考虑函数 f x x ( ) sin = 1 ， 则 x n = n + = 2 2 1 012 ( ) ( ,, , ) π " 都是 f x( )的极值点，当 n为偶数时为极大值 点，而当 n为奇数时为极小值点
定理5.1.1( Fermat引理)设x是f(x)的一个极值点,且f(x)在x 处导数存在, f(x)=0
定理5.1.1(Fermat引理) 设x0是 f x( )的一个极值点，且 f x( )在 x0 处导数存在，则 f x ′( ) 0 = 0
定理5.1.1( Fermat引理)设x是f(x)的一个极值点,且f(x)在x 处导数存在, f(x)=0。 证不妨设x是f(x)的极大值点。则在x的某个邻域O(xn,S)上 f(x)有定义,且满足 f(x)≤f(x0) 当xx时,有 f(x)-f(x≤0。 x-xo X-X 因为f(x)在x可导,所以f(x)=f(xn)=f(x),由于 f(xo)=lim f(x)-f(o) X-X f(x)-f(x0) f(xo)= lim X-X 因此 同理可证x为极小值点的情况。 证毕
证 不妨设x0是 f x( )的极大值点。则在x0的某个邻域 ),(xO 0 δ 上 f x( )有定义，且满足 fx fx () ( ) ≤ 0 。 当 0 x x 时，有 0 0 () ( ) 0 fx fx x x − ≤ − 。 因为 f x( )在 0 x 可导，所以 000 f () () () x f x f x + − ′ = ′ ′ = ，由于 ′ = − − − ≥ → − f x fx fx x x x x ( ) lim () ( ) 0 0 0 0 0， ′ = − − + ≤ → + f x fx fx x x x x ( ) lim () ( ) 0 0 0 0 0， 因此 f x ′( ) 0 = 0。 同理可证x0为极小值点的情况。 证毕 定理5.1.1(Fermat引理) 设x0是 f x( )的一个极值点，且 f x( )在 x0 处导数存在，则 f x ′( ) 0 = 0
Fermat引理的几何意义:若曲线y=f(x)在其极值点处可导,或者 说在该点存在切线,那么这条切线必定平行于x轴。 当f(x)可导时,条件“f(x)=0”只是f(x)存在极值点的必要条 件而并非是充分条件。例如函数f(x)=x3在x0=0处的情况 f(x0)=0 导数不存在 图5.1.2
Fermat引理的几何意义：若曲线 y fx = ( )在其极值点处可导，或者 说在该点存在切线，那么这条切线必定平行于x 轴。 当 f x( )可导时，条件“ f x ′( ) 0 = 0”只是 f x( )存在极值点的必要条 件而并非是充分条件。例如函数 fx x ( ) = 3在 x0 = 0处的情况。 y O x x ξ 0 0 f’(x0)=0 导数不存在 图 5.1.2
Role定理 定理5.1.2(Rol定理)设函数f(x)在闭区间a,b]上连续,在开区 间(an,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f'(3)=0
Rolle定理 定理5.1.2(Rolle定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连续，在开区 间(, ) a b 上可导，且 fa fb () () = ，则至少存在一点ξ ∈(, ) a b ，使得 f ′( ) ξ = 0
Role定理 定理5.1.2(Rol定理)设函数f(x)在闭区间a,b]上连续,在开区 间(an,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。 证由闭区间上连续函数的性质,存在ξ,n∈[a,b,满足 f(3)=M 和 其中M和m分别是f(x)在[a,b上的最大值和最小值。现分两种情况: (1)M=m。此时f(x)在[a,b上恒为常数,结论显然成立。 (2)M>m。这时M和m中至少有一个与f(a)(也即f(b)不相同, 不妨设 M=f(ξ)>f(a)=f(b), 因此ξ∈(a,b)显然是极大值点,由 Fermat引理 ∫'(ξ)=0。 证毕
证 由闭区间上连续函数的性质，存在ξ, [, ] η ∈ a b ，满足 f M ( ) ξ = 和 f m ( ) η = ， 其中 M 和m分别是 f x( )在[, ] a b 上的最大值和最小值。现分两种情况： （1） M = m。此时 f x( )在[, ] a b 上恒为常数，结论显然成立。 （2） M > m。这时 M 和m中至少有一个与 f a( )（也即 f b( )）不相同， 不妨设 M f fa fb = () () () ξ > = ， 因此ξ ∈(, ) a b 显然是极大值点，由Fermat引理 f ′( ) ξ = 0。 证毕 Rolle定理 定理5.1.2(Rolle定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连续，在开区 间(, ) a b 上可导，且 fa fb () () = ，则至少存在一点ξ ∈(, ) a b ，使得 f ′( ) ξ = 0
Roll定理的几何意义:满足定理条件的函数一定在某一点存在 条与x轴平行,也即与曲线的两个端点的连线平行的切线。 注意:Role定理的条件是充分的。但是,三个条件中的任意一个 不满足,定理结论就有可能不成立。 6 x 图51.3
Rolle定理的几何意义：满足定理条件的函数一定在某一点存在一 条与x轴平行，也即与曲线的两个端点的连线平行的切线。 注意：Rolle定理的条件是充分的。但是，三个条件中的任意一个 不满足，定理结论就有可能不成立。 a b ξ x y O 图 5.1.3