§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫厂f(x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分。f(x)dx收敛即为极限mJf(x存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式:
反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a fx x +∞ ∫ 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛即为极限 limA→+∞ ( )d Aa f x x ∫ 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： §2 反常积分的收敛判别法
§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫厂f(x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法 由于反常积分。f(x)dx收敛即为极限mJf(x存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式: 定理821( Cauchy收敛原理)反常积分∫(xd收敛的充 分必要条件是:对任意给定的>0,存在A≥a,使得对任意A,A≥A, 有 f(x)dx<8
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理） 反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛的充 分必要条件是：对任意给定的ε > 0，存在 0 ≥ aA ，使得对任意 AA A , ′ ≥ 0， 有 ( )d A A fx x ε ′ < ∫ 。 §2 反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a fx x +∞ ∫ 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛即为极限 limA→+∞ ( )d Aa f x x ∫ 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式：
定义8.2.1设f(x)在任意有限区间[a,们c[a,+∞)上可积,且 。1/(x)收敛,则称∫。f(x)绝对收敛(或称/fx)在a)上绝对 可积)。 若「厂f(x)dx收敛而非绝对收敛,则称厂f(x)dx条件收敛(或称 f(x)在[a+∞)上条件可积)
定义 8.2.1 设 f x( )在任意有限区间[, ] a A ⊂ [, ) a +∞ 上可积，且 | ( )| d a f x x +∞ ∫ 收敛，则称 ( )d a f x x +∞ ∫ 绝对收敛（或称 f x( )在[, ) a +∞ 上绝对 可积）。 若 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛而非绝对收敛，则称 ( )d a f x x +∞ ∫ 条件收敛（或称 f x( )在[, ) a +∞ 上条件可积）
推论若反常积分。(xdx绝对收敛,则它一定收敛 证对任意给定的E>0,由于1f(x)d收敛,所以存在4≥a, 使得对任意A,A≥A,成立 f(x)dx<a 利用定积分的性质,得到 f(x+∫/(x)d<, 由 Cauchy收敛原理,可知「f(x)x收敛
推论 若反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 绝对收敛，则它一定收敛。 证 对任意给定的ε > 0，由于 | ( )| d a f x x +∞ ∫ 收敛，所以存在 0 ≥ aA ， 使得对任意 AA A , ′ ≥ 0，成立 | ( )|d A A fx x ε ′ < ∫ 。 利用定积分的性质，得到 ( )d A A f x x ′ ≤ ∫ | ( )|d AA fx x ε ′ < ∫ ， 由 Cauchy 收敛原理，可知 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛
虽然 Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件, 但是对于具体的反常积分,在使用上往往比较困难,因此需要导出 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。 非负函数反常积分的收敛判别法 定理822(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x),其 中K是正常数。则 (1)当。(x)收敛时∫。f(x)dx也收敛; (2)当∫。f(x)dx发散时厂o(x)dx也地发散
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。 非负函数反常积分的收敛判别法 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[, ) a +∞ 上恒有 ≤ ≤ ϕ xKxf )()(0 ，其 中K 是正常数。则 （1）当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛； （2）当 ( )d a f x x +∞ ∫ 发散时 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 也发散
例8.2.1讨论[∞2xxd的敛散性(a是常数)。 x ta 解因为当x≥1时有 cos 2xsin x 1 x+a 在例8.1.2中,已知∫4x收敛,由比较判别法,∫ +∞cos2 Sinx dx绝 XIx 对收敛,所 cos 2xsinx dx收敛 +a 注意:在以上定理中,条件“在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x)”, 可以放宽为“存在A≥a,在[A,)上恒有0≤f(x)≤K(x)
例 8.2.1 讨论 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 的敛散性（a是常数）。 解 因为当 x ≥1时有 ax xx xx 1sin2cos 23 ≤ + ， 在例 8.1.2 中，已知 1 1 dx x x +∞ ∫ 收敛，由比较判别法， 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 绝 对收敛，所以 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 收敛。 注意：在以上定理中，条件“在[, ) a + ∞ 上恒有 ≤ ≤ ϕ xKxf )()(0 ”， 可以放宽为“存在 ≥ aA ，在 A + ∞),[ 上恒有 ≤ ≤ ϕ xKxf )()(0
推论(比较判别法的极限形式)设在[a,+∞)上恒有f(x)20和 0(x)≥0,且 lim D(x) 则 (1)若01<+∞0,则∫。(x灿x收敛时∫。f(x)dx也收敛; 2)若0</≤+0,则∫。9(xx发散时∫fx)dx也发散 所以,当0<1<+2时,∫。(x和∫。f(x灿x同时收敛或同时发散
推论（比较判别法的极限形式 ）设在[, ) a + ∞ 上恒有 f x() 0 ≥ 和 ϕ x ≥ 0)( ，且 l x xf x = +∞→ )( )( lim ϕ ， 则 ⑴ 若 0 ≤ <l + ∞ ，则 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛； ⑵ 若 0 < ≤l + ∞ ，则 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 发散时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也发散。 所以， 当 0 < < +∞ l 时， ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 和 ( )d a f x x +∞ ∫ 同时收敛或同时发散
证(1)若m()=1<+0,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 (x) <l+1 P(x 即 f(x)<(l+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫以x)dx收敛时∫。f(xx也收敛
证 ⑴ 若 +∞<= +∞→ l x xf x )( )( lim ϕ ，则存在常数 A ≥ a ，当 ≥ Ax 时成立 1 )( )( l +< x xf ϕ ， 即 < + ϕ xlxf )()1()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛
证(1)若m()=10,存在常数A≥a,使得当x≥A时成立 f(x) p(x) 其中0/'g(x) 于是,由比较判别法,当。xx发散时∫。f(xx+也发散
⑵ 若 0 )( )( lim >= +∞→ l xxf x ϕ ，存在常数 A ≥ a ，使得当 ≥ Ax 时成立 l x xf > ′ )( )( ϕ ， 其中0 ′ϕ xlxf )()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 发散时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也发散。 证 ⑴ 若 +∞<= +∞→ l x xf x )( )( lim ϕ ，则存在常数 A ≥ a ，当 ≥ Ax 时成立 1 )( )( l +< x xf ϕ ， 即 < + ϕ xlxf )()1()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛
例822讨论厂 dx的敛散性 +3x3+5x2+2x-1 解因为 x→-x4+31x3+5x2+2x-11, 由于「收敛,所以∫ dx收敛 x4+3x32+5x2+2x-1
例 8.2.2 讨论 1 34 3 2 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 的敛散性。 解 因为 lim x→+∞ x xxxx 3 4 3 432 3 5 21 1 + + +− = ， 由于 1 3 4 1 dx x +∞ ∫ 收敛，所以 1 3 432 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 收敛
