§4隐函数 前面讨论的函数大多是z=f(x,y形式,如z=x和z=√x2+y2等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler方程 F(x,y)=y-x-8sn y=0,0<8<I 这里x是时间,y是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,E是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑,y必定是x的函数, 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。 这种自变量和因变量混合在一起的方程(组)F(x,y)=0,在一定 条件下也表示y与x之间的函数关系,通称隐函数 那么自然要问,这种函数方程(组)在什么条件下确实表示了 个隐函数(向量值隐函数),如何保证该隐函数连续和可微?
前面讨论的函数大多是z = f (x, y)形式，如z = xy和 2 2 z = x + y 等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler 方程 F(x, y) = y − x − sin y = 0, 0 1， 这里 x是时间， y 是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度， 是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑， y 必定是x的函数， 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。 这种自变量和因变量混合在一起的方程（组）F x y ( , ) 0 = ，在一定 条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称隐函数。 那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了一 个隐函数（向量值隐函数），如何保证该隐函数连续和可微？ §4 隐函数
单个方程的情形 定理12.4.1(一元隐函数存在定理)若二元函数F(x,y)满足条 件 1)F(xn,y)=0; (2)在闭矩形D={(x,y)x-x0ka,|y-yb}上,F(x,y)连续,且 具有连续偏导数; (3)F,(x0,y)≠0 那么 (i)在点(x0,y)附近可以从函数方程 F(x,y)=0 唯一确定隐函数 y=f(x)x∈O(x0,p) 它满足F(x,f(x)=0,以及y=f(x0); (i)隐函数y=f(x)在x∈O(x,P)上连续 (ii)隐函数y=f(x)在x∈O(x0,p)上具有连续的导数,且 dy F(x, y) dx F(x, y)
那么 （ⅰ）在点 ( , ) 0 0 x y 附近可以从函数方程 F(x, y) = 0 唯一确定隐函数 ( ), ( , ) y = f x x O x0 , 它满足F(x, f (x)) = 0，以及 ( ) 0 0 y = f x ； （ⅱ）隐函数 y = f (x)在 ( , ) x O x0 上连续； （ⅲ）隐函数 y = f (x)在 ( , ) x O x0 上具有连续的导数，且 d ( , ) d ( , ) x y y F x y x F x y = − 。 单个方程的情形 定理 12.4.1（一元隐函数存在定理） 若二元函数F(x, y) 满足条 件： （1）F(x0 , y0 ) = 0； （2）在闭矩形 0 0 D = − − {( , ) || | , | | } x y x x a y y b 上，F(x, y) 连续，且 具有连续偏导数； （3） Fy (x0 , y0 ) 0
证不失一般性,设F,(x,y)>0 先证明隐函数的存在性。 使得在闭矩形D=(xy)川x-xa,y-B上a≤a00与F、(x,y)的连续性,可知存在0 F,(x,y)>0 于是,对固定的x,y的函数F(xn,y)在[y-By+是严格单调 增加的。又由于F(x0,y)=0,从而 B)0
证 不失一般性，设 Fy (x0 , y0 ) 0。 先证明隐函数的存在性。 由 Fy (x0 , y0 ) 0 与 F (x, y) y 的连续性，可知存在0 a, 0 b ， 使得在闭矩形 * 0 0 D = − − {( , ) || | , | | } x y x x y y 上成立 Fy (x, y) 0。 于是，对固定的 0 x ，y 的函数 ( , ) 0 F x y 在[ , ] y0 − y0 + 是严格单调 增加的。又由于 F(x0 , y0 ) = 0 ，从而 F(x0 , y0 − ) 0, F(x0 , y0 + ) 0
由于F(x,y)在D上连续性,于是存在p>0,使得在线段 p0,而在线段 xo-p0 根据零点存在定理,必有ν∈(-By+B)使得F(x,y)=0。又因为在D 上F,>0,因此这样的y是唯一的
由于 F(x, y) 在 * D 上连续性，于是存在 0 ，使得在线段 x0 − x x0 + , y = y0 + 上F(x, y0 + ) 0，而在线段 x0 − x x0 + , y = y0 − 上F(x, y0 − ) 0。 因此，对于( , ) x0 − x0 + 内的任一点 x ，将F(x, y)看成 y 的函数， 它在[ , ] y0 − y0 + 上是连续的，而由刚才的讨论知道 F(x, y0 − ) 0, F(x, y0 + ) 0， 根据零点存在定理，必有 ( , ) y y0 − y0 + 使得 F(x, y) = 0 。又因为在 * D 上Fy 0 ，因此这样的 y 是唯一的
将p与x的对应关系记为p=f(x),就得到定义在(x-p,x+p)上 的函数y=f(x),它满足F(x,f(x)=0,而且显然成立y=f(x) yo+B F>0 yo (xy); yo-B F<0 xo-p x xo xo tp x 图1242
将 y 与 x 的对应关系记为 y = f (x)，就得到定义在( , ) x0 − x0 + 上 的函数 y = f (x)，它满足F(x, f (x)) 0，而且显然成立 ( ) 0 0 y = f x 。 y y0 + F 0 0 y ( , ) 0 0 x y y y0 − F 0 O x 0 x 0 x + x 图 12.4.2 0 x −
再证隐函数y=f(x)在(x0-p,x+p)上的连续性 设x为(x0-p,x+p)上的任一点。对于任意给定的s>0(充分 小),由于F(x,y)=0(y=f(x)),由前面的讨论知道 F(x,y-E)0。 而由于F(x,y)在D上的连续性,一定存在δ>0,使得当x∈O(x,δ)时, F(x,y-E)0 通过类似前面的讨论即得到,当x∈O(x,δ)时,相应的隐函数值必满 足f(x)∈(y-E,y+6),即 If(x)-f(x)ka 这就是说,y=f(x)在(x0-p,x0+p)上连续
再证隐函数 y = f (x)在( , ) x0 − x0 + 上的连续性。 设 x 为( , ) x0 − x0 + 上的任一点。对于任意给定的 0（ 充 分 小），由于F(x, y) = 0（ y = f (x)），由前面的讨论知道 F(x, y − ) 0, F(x, y + ) 0。 而由于F(x, y) 在 * D 上的连续性，一定存在 0，使得当x O(x, ) 时， F(x, y − ) 0, F(x, y + ) 0。 通过类似前面的讨论即得到，当 x O(x, ) 时，相应的隐函数值必满 足 f (x) ( y − , y + )，即 | f (x) − f (x) | 。 这就是说， y = f (x)在( , ) x0 − x0 + 上连续
最后证明y=f(x)在(x0-p,x0+)上的可导性。 设x为(x-p,x+p)上的任一点。取Ax充分小使得x+Ax∈ (x0-p,x+p),记y=f(x)以及y+4y=f(x+Ax),则显然成立F(x,y)=0 和F(x+△Ax,y+Ay)=0。 应用多元函数的微分中值定理,得到 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y) F(x+x,y+y)x+F,(x+Ax,y+的y)△y, 其中00,注意到F和F的连续性,就得到 F(,y f'(x) F(x,f(x)) F,(, f(x))
最后证明 y = f (x)在( , ) x0 − x0 + 上的可导性。 设 x 为 ( , ) x0 − x0 + 上 的 任一 点 。 取 x 充 分 小使得 x + x ( , ) x0 − x0 + ，记 y = f (x)以及 y + y = f (x + x)，则显然成立F(x, y) = 0 和F(x + x, y + y) = 0。 应用多元函数的微分中值定理，得到 0 = F(x + x, y + y) − F(x, y) F x x y y x F x x y y y = x ( + , + ) + y ( + , + ) ， 其中0 1。注意到在 * D 上Fy 0 ，因此 ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x + + + + = − 。 令x →0，注意到Fx 和Fy的连续性，就得到 d ( , ) d ( , ) x x x y y F x y x F x y = = − 。 即 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x = −
这种关系能用显式具体表示出来。例如Kep水安 定理124.1只是保证了在一定的条件下,函数方程F(x,y)=0在局 部(不一定是整体)确定了y关于x的函数关系y ),而并不意味 y-x-asiny=0,00,所以y对x的 依赖关系,即隐函数y=∫(x)是肯定存在的。但遗憾的是,它不能用 显式表示
定理 12.4.1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 F(x, y) = 0 在局 部（不一定是整体）确定了 y 关于x的函数关系 y = f (x)，而并不意味 这种关系能用显式具体表示出来。例如 Kepler 方程 y − x − sin y = 0, 0 1， 如果取F(x, y) = y − x − sin y，那么Fy (x, y) = 1− cos 0，所以 y 对x的 依赖关系，即隐函数 y = f (x)是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用 显式表示
定理1241可以直接推广到多元函数的情形。 定理1242(多元隐函数存在定理)若n+1元函数F(x,x2…,xn,y) 满足条件: (1)F(x0,x2…,x0,y°)=0; (2)在闭长方体D={(x,y)y-ykb,|x,-xa,i=12…,n}上,函 数F连续,且具有连续偏导数F,F,i=1,2,…,n; (3)F,(x,x2,…,x,y”)≠0
定理 12.4.1 可以直接推广到多元函数的情形。 定理 12.4.2（多元隐函数存在定理）若 n +1元函数 ( , , , , ) 1 2 F x x x y n 满足条件： （1） ( , , , , ) 0 0 0 0 2 0 F x1 x xn y = ； （2）在闭长方体 0 0 {( , ) || | , | | , 1,2, , } i i i D = − − = x y y y b x x a i n 上，函 数F 连续，且具有连续偏导数 F F i n i y x , , = 1,2, , ； （3） ( , , , , ) 0 0 0 0 2 0 Fy x1 x xn y
那么 (i)在点(x,x2…,x0,y9)附近可以从函数方程 n,y 唯一确定隐函数 y=f(x1,x2,…,xn),(x2x2…x)∈O(x1,x22…,x),P), 它满足F(x1,x2,…,xnf(x1,x2…,xn)=0,以及y=f(x,x2…,x2) (i)隐函数y=f(x1,x2,…,x,)在O(x,x2,…,x),p)上连续; (ⅲi)隐函数y=f(x1,x2…,xn)在O(x,x2,…,x)p)上具有连续的偏 导数,且 x y(12 X.1
那么 （ⅰ）在点( , , , , ) 0 0 0 2 0 1 x x x y n 附近可以从函数方程 F(x1 , x2 , , xn , y) = 0 唯一确定隐函数( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n y = f x x x x x x (( , , , ), ) 0 0 2 0 O x1 x xn ， 它满足F(x1 , x2 , , xn , f (x1 , x2 , , xn )) = 0，以及 ( , , , ) 0 0 2 0 1 0 n y = f x x x ； （ⅱ）隐函数 ( , , , ) 1 2 n y = f x x x 在 (( , , , ), ) 0 0 2 0 O x1 x xn 上连续； （ⅲ）隐函数 ( , , , ) 1 2 n y = f x x x 在 (( , , , ), ) 0 0 2 0 O x1 x xn 上具有连续的偏 导数，且 i n F x x x y F x x x y x y y n x n i i , 1,2, , ( , , , , ) ( , , , , ) 1 2 1 2 = − =
