§6定积分的数值计算 数值积分 对于求定积分,虽然有了 Newton- Leibniz公式,但在整个可积函 数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说, 对绝大部分在理论上可积的函数,并不能用 Newton-Leibniz公式求得 其定积分之值。 另一方面,在实际问题中,许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值,如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值,那么 Newton- Leibniz公式是难有用 武之地的 所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要 的一种
数值积分 对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函 数类中，能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分，也就是说， 对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得 其定积分之值。 另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法，数值积分是其中最重要 的一种。 §6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看,若能在[a,上找到一个具有足够精度的 替代f(x)的可积函数p(x),而p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示, 比如,p(x)为f(x)的某个插值多项式,那么便可用p(x)的积分值近似 地代替f(x)的积分值,即 f(x)drx p(x)dx=P(x)I 此外,从定积分的几何意义知道,将积分区间分得越细,小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此,用简单函数替代被积函数, 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
从数值计算的观点来看，若能在[,] a b 上找到一个具有足够精度的 替代 f x( )的可积函数 p x( )，而 xp )( 的原函数可以用初等函数 xP )( 表示， 比如， p x( ) 为 f x( )的某个插值多项式，那么便可用 p x( )的积分值近似 地代替 f x( )的积分值，即 ( )d b a f x x ∫ ( )d b a ≈ p x x ∫ b a = xP )( 。 此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数， 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
Newton- Cotes求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a以步长h=b分成n等份,以分点 n x1=a+i(i=012;…,n-1,n) 为结点作f(x)的 Lagrange插值多项式 X-x (x)=P(x)=∑∏ f(x)
Newton-Cotes 求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[, ] a b 以步长h b a n = − 分成n等份，以分点 ihaxi = + （ i = " − ,1,,2,1,0 nn ） 为结点作 f x( )的 Lagrange 插值多项式 f x( ) ≈ )( )( 0 0 i n i n ij j ji j n xf xx xx xp ∑ ∏ = ≠ = ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ −− =
对等式两边在{a,b上积分,便有 ∫r(xAx≈Jp2(x)x=(b-a)cmf(x) 这里, (n) ∫∏xdx(令x=a+h) =0x1-x J≠ h立d=1 (-1) (t-jdt =0l ni!(n-1)!0 j=0 这就是n步 Newton- Cotes求积公式,计算时需取n+1个结点,相应的 Cm称为 Cotes系数,它与积分区间和被积函数无关,可通过求多项式 的积分事先算好
对等式两边在[, ] a b 上积分，便有 ( )d b a f x x ∫ ( )d b n a ≈ p x x ∫ = − = ( ) () ∑ ( ) b a C fx i n i n i 0 . 这里， ( ) 0 1 d n b n j i a j i j j i x x C x ba x x = ≠ − = − − ∫ ∏ （令x = a th + ） 0 0 d n n j j i h tj t ba i j = ≠ − = − − ∫ ∏ 0 0 1 ( 1) ( )d !( )! n i n n j j i t jt ni n i − = ≠ − = − − ∫ ∏ 。 这就是n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取n +1个结点，相应的 Ci( ) n 称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式 的积分事先算好
Cotes系数具有如下性质: 1.对称性。可从C(的表达式直接算出 cIm)= cln i=0,1,2,…,n-1,n. 2.规范性。由于 Newton-Cotes公式对∫(x)≡1是精确成立的, 因此 ∫"dx=(b-a)>c (n 即
Cotes 系数具有如下性质： 1. 对称性。可从Ci( ) n 的表达式直接算出 Ci( ) n = Cn i −( ) n ， i nn = 012 1 ,, , , , " − . 2. 规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 f x( ) ≡ 1是精确成立的， 因此 1 d b a ⋅ x ∫ = − = ( )∑ ( ) ba Ci n i n 0 ， 即 Ci n i n ( ) = ∑ = 0 1
Newton- Cotes公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题, 下面是几个常用的情况 (1)梯形公式 f(b) 当n=1时,由 Cotes系数的性质,即知 1) (1) 因此 (a ∫(x)k=2U(+(b) 它的几何意义是用以(a0),(a,f(a),(b,f(b) 图761 和(b0)为顶点的直角梯形的面积近似代替由 ν=f(x),x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积(图7.6.1), 所以称为梯形公式
Newton-Cotes 公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题， 下面是几个常用的情况。 ⑴ 梯形公式 当n = 1时，由 Cotes 系数的性质，即知 C0(1) = = C1 12 (1) ， 因此 ( )d b a f x x ∫ ≈ − + b a fa fb 2 [ ( ) ( )]。 它的几何意义是用以(,) a 0 ，( , ( )) afa ，( , ( )) bfb 和(,) b 0 为顶点的直角梯形的面积近似代替由 y fx = ( )， x a = ， x = b和 x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.1）, 所以称为梯形公式。 a b f(a) f(b) 图7.6.1
(2) Simpson公式 a+by 当n=2时, f(b C2) (t-1)(t-2)dt f(a2) (2) (2) (2) a+b 因此得到 Simpson公式 6/Ja)+4/a+b) b-a 图7.6.2 x)dx≈ 2/+/(b)/。 它的几何意义是用过点(a,fa,/+bda+b|和(f(b)的抛物线 2 y=p2(x)与x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积,近似代替由 y=f(x)、x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积(图7.6.2), 所以 Simpson公式也称为抛物线公式
⑵ Simpson 公式 当 n = 2时， 2 (2) (2) 0 2 0 1 1 ( 1)( 2)d 4 6 C tt t C = − − == ∫ ， C CC 1 2 0 2 2 2 1 4 6 () () () =− − = ， 因此得到 Simpson 公式 ( )d b a f x x ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − ≈ )( 2 4)( 6 bf ba faf ab 。 它的几何意义是用过点( , ( )) afa ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ 2 , 2 ba f ba 和( , ( )) bfb 的抛物线 )( 2 = xpy 与 x a = ， x = b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，近似代替由 y fx = ( ) 、 x a = ， x = b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.2）， 所以 Simpson 公式也称为抛物线公式
(3) Cotes公式 当n=4时, (t-1)(-2)(t-3)(-4)dt 96 4 32 24(t-2)-3)t-4903, (4) C2=1-2( 于是得到 Cotes公式 ∫/x)dx≈{7/(x)+(x,+320(x)+(x)+12/(x), 这里 (4-ia+ib ,i=0,1,2,3,4。 4
⑶ Cotes 公式 当n = 4时， 4 (4) (4) 0 4 0 1 7 ( 1)( 2)( 3)( 4)d 96 90 C tt tt t C = −− − − == ∫ ， 4 (4) (4) 1 3 0 1 32 ( 2)( 3)( 4)d 24 90 C tt t t t C =− − − − = = ∫ ， C CC 24 04 1 4 1 2 1290 ( ) () () =− − = ( ) ， 于是得到 Cotes 公式 ( )d b a f x x ∫ { })(12)]()([32)]()([7 90 0 4 1 3 2 xfxfxfxfxf ab ++ ++ − ≈ ， 这里 x i a ib i = ( ) 4 − + 4 ， i = 01234 ,, ,,
例76.1分别用以上三个公式求ed的近似值 解梯形公式:1=e+e1=308616127…; Simpson公式:12=(e+4e+e-)=2362053757 Cotes公式 14=,c[7(e+e-)+32e2+e)+12e]=2350470904…· 而积分的精确值为 =2350402387 所以, Cotes公式的精度最高,但它要计算5个函数值,而梯形 公式只要计算两个就够了
例 7.6.1 分别用以上三个公式求 1 1 e dx x ∫− 的近似值。 解 梯形公式： I1 1 1 = + = 308616127 − ee . …； Simpson 公式： I2 1 01 13 = ++ = 4 2 362053757 − (e e e ) . …； Cotes 公式 ： I4 1 1 0 1 45 7 32 12 2 350470904 12 1 = ++ + + = − 2 − [ (e e ) (e e ) e ] . …。 而积分的精确值为 1 1 e dx I x − = ∫ = − e e1 = 2 350402387 . …。 所以，Cotes 公式的精度最高，但它要计算 5 个函数值，而梯形 公式只要计算两个就够了
复化求积公式 要提高数值积分的精度,不能采用一味提高 Newton-Cotes公式 的步数的办法。理论上已经证明,n较大时, Newton- Cotes公式的计 算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是,先将积分区间分成 若干等份,再在每一个小区间上使用低步数的 Newton- Cotes公式, 最后将各小区间上的积分近似值加起来
复化求积公式 要提高数值积分的精度，不能采用一味提高 Newton-Cotes 公式 的步数的办法。理论上已经证明，n较大时，Newton-Cotes 公式的计 算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是，先将积分区间分成 若干等份，再在每一个小区间上使用低步数的 Newton-Cotes 公式， 最后将各小区间上的积分近似值加起来