《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十二章 多元函数的微分学（12.3）中值定理和 Taylor公式

§3中值定理和 Taylor公式 中值定理 定义12.3.1设DcR"是区域。若连结D中任意两点的线段都完 全属于D,即对于任意两点x,x1∈D和一切λ∈[01,恒有 o+A(x1-x0)∈D, 则称D为凸区域 例如R2上的开圆盘 D={(x,y)∈R2|(x-a)2+(y-b)2<r2 就是凸区域

中值定理 定义 12.3.1 设 n D  R 是区域。若连结D中任意两点的线段都完 全属于D，即对于任意两点 0 x ， 1 x  D和一切 [0,1]，恒有 ( ) x0 +  x1 − x0  D， 则称D为凸区域。 例如 2 R 上的开圆盘 2 2 2 2 D =  − + −  {( , ) | ( ) ( ) } x y x a y b r R 就是凸区域。 §3 中值定理和Taylor公式

定理12.3.1(中值定理)设二元函数f(x,y)在凸区域DcR2上 可微,则对于D内任意两点(x0,y)和(x0+Ax,y+4y),至少存在一个O (0<<1),使得 f(xo +Ar, yo +Ay)-f(xo,y =f(x+的Ax,y的y)Ax+f,(xo+的Ax,yo+的y)Ay 证因为D是凸区域,所以 (x+Ax,y+t小y)∈D,t∈[0.1 作辅助函数 (1)=f(x0+1x,y+1Ay), 这是定义在[0,上的一元函数,由已知条件,g(1)在[0连续,在(0,)可 导,且 (t)=f(xo+tAx, yo+ tAy)Ax+f(o+tAx, yo tAy)Ay 由 Lagrange中值定理,可知存在θ(0<θ<1),使得 qp(1)-(0)=q(6)。 注意(1)=f(x+Ax,y+4y),(0)=f(x0,y),并将g()的表达式代入上 式,即得到定理的结论

定理 12.3.1 (中值定理) 设二元函数 f (x, y)在凸区域 2 D  R 上 可微，则对于D内任意两点( , ) 0 0 x y 和( , ) 0 0 x + x y + y ，至少存在一个 （0  1），使得 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y x f x x y y y f x x y y f x y = x +  +   + y +  +   +  +  −     证 因为D是凸区域，所以 0 0 ( , ) x t x y t y +  +   D，t [0,1]。 作辅助函数 ( ) ( , ) 0 0  t = f x + tx y + ty ， 这是定义在[0,1]上的一元函数，由已知条件，(t)在[0,1]连续，在(0,1) 可 导，且 t f x t x y t y x f x t x y t y y ( ) = x ( 0 +  , 0 +  ) + y ( 0 +  , 0 +  ) 。 由 Lagrange 中值定理，可知存在 （0  1），使得 (1) −(0) = ()。 注意 (1) ( , ) 0 0  = f x + x y + y ， (0) ( , ) 0 0  = f x y ，并将(t)的表达式代入上 式，即得到定理的结论

推论12.3.1如果函数∫(x,y)在区域DcR2上的偏导数恒为零, 那么它在D上必是常值函数。 证设(x,y)是区域D上任意一点,则存在r>0,使得点(x,y)的 邻域O(x,y,r)cD。由定理12.3.1,对任意的(x,y)∈O(x,y"),r),存 在θ(0<θ<1),使得 f(x,y)-f(x3y)=f2(x+x,y+6小y)Ax+f,(x+Ax,y+的y)Ay=0 其中Ax=x-x,4y=y-y。因此 f(x,y)=f(x’,y),(x,y)∈O(x,y)r), 即f(x,y)在O(x,y),r)上是常值函数。 现设(x,y)为区域D上一定点,(x,y)为区域D上任意一点,则存 在连续映射y:[0→D,满足(0,1)<D,y(0)=(x02y),y(1)=(x,y), 即y是区域D中以(xn,y)为起点,以(x,y)为终点的道路。于是函数 f(y(ω)在[0,连续,且满足 f(y(0)=f(x0,y),f(y(1)=f(x,y)

推论 12.3.1 如果函数 f (x, y)在区域 2 D  R 上的偏导数恒为零， 那么它在D上必是常值函数。 证 设(x  , y )是区域D上任意一点，则存在r   0，使得点(x  , y )的 邻域O((x  , y ),r )  D 。由定理 12.3.1，对任意的(x, y)  O((x  , y ),r )，存 在 （0  1），使得 f (x, y) − f (x  , y ) = f x (x  +x, y  +y)x + f y (x  +x, y  +y)y = 0， 其中x = x − x ，y = y − y 。因此 f (x, y) = f (x  , y )，(x, y)  O((x  , y ),r )， 即 f (x, y)在O((x  , y ),r )上是常值函数。 现设( , ) 0 0 x y 为区域D上一定点，(x, y)为区域D上任意一点，则存 在连续映射 :[0,1] → D，满足 ([0,1])  D， (0) = ( , ) 0 0 x y ， (1) = (x, y)， 即 是区域 D 中 以( , ) 0 0 x y 为起点，以(x, y)为终点的道路。于是函数 f ( (t))在[0,1]连续，且满足 ( (0)) ( , ) 0 0 f  = f x y ， f ( (1)) = f (x, y)

记 to=sup{s∈[0,1]1f(()=f(y(0)=f(x0,y0,t∈[0,]}, 则t0>0,且由f(x()的连续性,有f((n0)=f(xn,y)。 由于y(t)∈D,根据上面的证明,存在y(t)的邻域O(y(t0),),使 得O((t0))cD,且对于一切(x,y)∈O(y(t0)),成立 f(x, y)=f(r(to)=f(o, yo) 如果t0,有t0+M<1 及y(o+△n)∈O(y(t0),),从而又成立f(y(t0+△)=f(y(t0)=f(x0,y), 这与t的定义矛盾,于是必有to=1。所以 f(x,y)=f((1)=f(y(0)=f(x,y0), 即f(x,y)在D上是常值函数

记 sup{ [0,1]| ( ( )) ( (0)) ( , ), [0, ]} 0 0 0 t = s  f  t = f  = f x y t  s ， 则t 0  0，且由 f ( (t))的连续性，有 ( ( )) ( , ) 0 0 0 f  t = f x y 。 由于 0  ( ) t  D，根据上面的证明，存在 ( ) 0  t 的邻域 ( ( ), ) 0 0 O  t r ，使 得O( (t 0 ),r0 )  D，且对于一切(x, y)  ( ( ), ) 0 0 O  t r ，成立 f (x, y) = ( ( )) ( , ) 0 0 0 f  t = f x y 。 如果t 0  1，由 (t)的连续性可知，对于充分小的t  0，有t 0 + t 1 及 ( ) ( ( ), ) 0 0 0  t + t O  t r ，从而又成立 ( ( )) 0 f  t + t ( ( )) ( , ) 0 0 0 = f  t = f x y ， 这与 0 t 的定义矛盾，于是必有t 0 = 1。所以 ( , ) ( (1)) ( (0)) ( , ) 0 0 f x y = f  = f  = f x y ， 即 f (x, y)在D上是常值函数

下面是一般n元函数的中值定理。 定理1232设n元函数f(x1,x2…,x)在凸区域DcR"上连续, 且在D上可微,则对于D内任意两点(x,x2…,x)和 (x+Ax1,x2+△x2…,x+△x),至少存在一个(0<<1),使得 f(x+△x1,x2+△x2,…,x+△xn)-f(x,x2,…,x2) ∑f(x3+0x,x2+0x2…,x+aAxn)Ax1

下面是一般 n 元函数的中值定理。 定理 12.3.2 设n元函数 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 在凸区域 n D  R 上连续， 且 在 D 上可微，则对于 D 内任意两点 ( , , , ) 0 0 2 0 1 n x x  x 和 ( , , , ) 0 2 0 1 2 0 1 n n x + x x + x  x + x ，至少存在一个 （0  1），使得 ( , , , ) ( , , , ) 0 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 1 n n n f x + x x + x  x + x − f x x  x n n i n i x f x x x x x x x i =  +  +  +   = ( , , , ) 0 2 0 1 2 0 1 1    

Taylor公式 定理12.3.3( Taylor公式)设f(x,y)在点(x0,y)的邻域U O(xny))上具有k+1阶连续偏导数,那么对于U内每一点 (x0+△x,y+Ay)都成立 f(o+Ax, yo +Ay) f(xo,yo)+Ax a+Ay a/(xo, D o)+HAx a+Ay f(xo, yo)+ Ax+小yf(x0,y)+R, k! 其中R=(k+) Ax-+△y f(x0+x,y+0y)(0<0<1)称为 Lagrange余项

Taylor 公式 定理 12.3.3（Taylor 公式） 设 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的邻域U = (( , ), ) 0 0 O x y r 上具有 k +1 阶 连 续 偏 导 数 ， 那么对于 U 内每一点 ( , ) 0 0 x + x y + y 都成立 ( , ) 0 0 f x + x y + y =   +         +    +            +    +  ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 f x y y y x f x y x y y x f x y x ( , ) ! 1 0 0 f x y y y x x k k           +    +  + Rk , 其 中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x k R k k +  +            +     + = +   （ 0  1 ） 称 为 Lagrange 余项

注 y。f(x,y)=∑ apf (x,y)(△x)-(Ay) p≥1 away 证对于给定点(x+Ax,y+Ay)∈U,构造辅助函数 P(t=f(o +tAx, yo +tay), 则由定理条件,一元函数d()在≤1上具有k+1阶连续导数,因此 在t=0处成立 Taylor公式 y(1)=0(0)+(0n+-p(Ot2+…+6(0)n1+ 1b(+(a)k+0<0<1 特别当t=1时,有 ①1)=如(0)+p(0)+φ(0)+…+p(0)+,,,(0),0<0<1。 (k+1)!

注 0 0 0 0 0 ( , ) C ( , )( ) ( ) p p p i p i i p p i i i f x y f x y x y x y x y x y − − =         +  =          （ p  1）。 证 对于给定点( , ) 0 0 x + x y + y  U ，构造辅助函数 ( ) ( , ) 0 0  t = f x + tx y + ty ， 则由定理条件，一元函数(t)在| t |≤1 上具有k +1阶连续导数，因此 在 t = 0 处成立 Taylor 公式 ( ) , 0 1 ( 1)! 1 (0) ! 1 (0) 2! 1 ( ) (0) (0) 2 ( ) ( 1) 1   + = +  +  + + + + +         k k k k t t k t k t t t  。 特别当t =1时，有 ( ), 0 1 ( 1)! 1 (0) ! 1 (0) 2! 1 (1) (0) (0) ( ) ( 1)   + = +  +  + + + +         k k k k 

应用复合函数求导的链式规则易算出 (1)=Ax+4y f(x0+1Ax,y0+1△y) (1)=Axx+4yf(x0+1△x,y0+1△y) 小(t)=△x+△y oil f(o +IAr, yo +(Ay) 代入上面φ(1)的表示式即得定理结论 当k=0时,就得到在U=O(x0,y))上的中值公式 f(xo+Ar, yo +Ay)-f(o, yo) f(x+Ax,y+6Ay)Ax+f(x+的Mx,y+的Ay)Ay,0<6<1

应用复合函数求导的链式规则易算出 ( ) ( , ), ( ) ( , ), 0 0 2 0 0 f x t x y t y y y x t x f x t x y t y y y x t x +  +            +     =  +  +            +     =    …… ( ) ( , ), 0 0 ( ) f x t x y t y y y x t x k k +  +            +     =  代入上面 (1)的表示式即得定理结论。 当k = 0时，就得到在U = (( , ), ) 0 0 O x y r 上的中值公式 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , ) +  +  − 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , 0 1 x y = +  +   + +  +     f x x y y x f x x y y y     

推论12.3.2设f(x,y)在点(x2y)的某个邻域上具有k+1阶连续 偏导数,那么在点(x0,y)附近成立 f(o+Ax, yo+Ay) f(x02y)+4r+4y yf(x,yb)+△x+y-f(x0,yb)+… 2! ax +/4rx+4O f(x0,yo)+oAx2+△y k

推论 12.3.2 设 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域上具有 k +1 阶连续 偏导数，那么在点( , ) 0 0 x y 附近成立 ( , ) 0 0 f x + x y + y =   +         +    +            +    +  ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 f x y y y x f x y x y y x f x y x ( , ) ! 1 0 0 f x y y y x x k k           +    +  + ( )        +  k o x y 2 2

例1231在计算机上求在点(xy的值,通常选取一个很小的 h,然后用中心差商 h f(x+,y)-f(x-,y) 近似代替(x,y)。对(xy)作同样处理,即有 a f h (x,y)≈ (x h a f(x+h,y)-f(x,y) f(x,y)-f(x-h,y) h f(+h,y)-2f(x, y)+f(x-h,y)

例 12.3.1 在计算机上求 x f   在点(x, y)的值，通常选取一个很小的 h，然后用中心差商 h y h y f x h f x , ) 2 , ) ( 2 ( + − − 近似代替 x f   (x, y)。对 ( , ) 2 2 x y x f   作同样处理，即有 ( , ) 2 2 x y x f   ≈ h 1 [ x f   , ) 2 ( y h x + - x f   , ) 2 ( y h x − ] ≈ h h f x y f x h y h f (x h, y) f (x, y) ( , ) − ( − , ) − + − = 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) h f x + h y − f x y + f x − h y