《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十二章 多元函数的微分学（12.5）偏导数在几何中的应用

§5偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系,设质点在时刻t位于点P(x(),y(),=(m)处,即它在任一时刻 的坐标可用 x三x y=y(t),a≤t≤b z=2(1) 来表示,随着t的连续变动,相应点(x,y,2)的轨迹就是空间中的一条 曲线 这种表达式称为空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式 r()=x(1)i+y(t)j+z(t)k,a≤t≤b

空间曲线的切线和法平面 一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系，设质点在时刻t 位于点P(x(t), y(t), z(t))处，即它在任一时刻 的坐标可用 a t b z z t y y t x x t        = = = ( ), ( ), ( ), 来表示，随着t 的连续变动，相应点(x, y,z) 的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式 r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k, a  t  b。 §5 偏导数在几何中的应用

定义12.5.1若r′( +y(1)j+z(1)k在[a,b上连续,并且 r()≠0,t∈[a,b],则称 r()=x(t)i+y(t)j+z()k,a≤t≤b 所确定的空间曲线为光滑曲线 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动

定 义 12.5.1 若 r(t) = x (t)i + y (t) j + z (t)k 在 [a,b] 上连续，并 且 r(t)  0, t [a,b]，则称 r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k, a  t  b 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动

现在讨论光滑曲线r上一点P2(x(t0)y(t0,(t0)处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同,即为割线的极限位置。 记x=x(0),y=y(10)=0=z(t0)。取r上另一点P(x(t),y()(x),则 过P和P的割线方程为 X-x x()-x(t0)y(t)-y(t0)z(1)-(t0) 将其改写为 x(1)-x(0)y(1)-y()z(1)-z(t0) 再令t→b,就得到曲线r在P点的切线方程 y=yo x(t0)y(t0)

现在讨论光滑曲线 上一点 ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 P x t y t z t 处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。 记 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 0 0 0 x = x t y = y t z = z t 。 取 上另一点 ( ( ), ( ), ( )) 1 P x t y t z t ， 则 过P0 和P1的割线方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z t z z y t y t y y x t x t x x − − = − − = − − 。 将其改写为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z t z t z z t t y t y t y y t t x t x t x x − − − = − − − = − − − ， 再令 0 t →t ，就得到曲线 在P0点的切线方程 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x  − =  − =  −

注当x()≠0,y(t)≠0,=(n)=0时,这个公式应理解为 Do y-yo 当x(n)≠0,y(n)=0,=(a)=0时,这个公式应理解为 向量r(t)=(x(t)y(t0),z(t0)就是曲线厂在P点的切线的一个方 向向量,也称为r在P点的切向量

注 当 x (t 0 )  0, y (t 0 )  0, z (t 0 ) = 0 时，这个公式应理解为      =  − =  − . , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z z y t y y x t x x 当 0 0 0 x t y t z t    ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0  = = 时，这个公式应理解为 0 0 , . y y z z  =   = 向 量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = x  t y  t z  t 就是曲线 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为  在 P0 点的切向量

过P点且与切线垂直的平面称为曲线r在P点的法平面。显然, 该法平面的一个法向量就是r在P点的切向量,因此曲线r在P点的 法平面方程可写成 x'(to(x-xo)+y(to(y-yo)+2(t(2-20)=0 或写成等价的向量形式 r'(t0)·(x-x0)=0

过 P0 点且与切线垂直的平面称为曲线  在 P0 点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是 在P0 点的切向量，因此曲线 在P0 点的 法平面方程可写成x (t 0 )(x − x0 ) + y (t 0 )( y − y0 ) + z (t 0 )(z − z0 ) = 0， 或写成等价的向量形式 r(t 0 )(x − x0 ) = 0

如果曲线的方程为 y=f(x),:=g(x), 把它看成以x为参数的参数方程 g(x) 即得到它在P(x0,f(x0),g{(x)点的切线方程为 y-f(xo 2-g(xo) f(xo g(xo) 法平面方程为 (x-x0)+f(x0(y-f(x)+g'(x0)(z-g(x0)=0

如果曲线的方程为 y = f (x), z = g(x)， 把它看成以x为参数的参数方程      = = = ( ), ( ), , z g x y f x x x 即得到它在 ( , ( ), ( )) 0 0 0 0 P x f x g x 点的切线方程为( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x z g x f x x x y f x  − =  − = − ； 法平面方程为 (x − x0 ) + f (x0 )( y − f (x0 )) + g (x0 )(z − g(x0 )) = 0

空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线r的方程为 F(x,y,=)=0 G(x,y,z)=0 P(x0,yn2=0)为厂上一点,且 Jacobi矩阵 FF F 在P点是满秩的,即 rank J=2。求曲线厂在P点的切线与法平面方程

空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线  的方程为    = = ( , , ) 0. ( , , ) 0, G x y z F x y z ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 为 上一点，且 Jacobi 矩阵         = x y z x y z G G G F F F J 在 P0 点是满秩的，即 rank 2 J = 。求曲线  在 P0 点的切线与法平面方程

由于矩阵J在P点满秩,不失一般性,假设在P点成立 O(F,G ≠0。 a(y’,z) 由隐函数存在定理,在P点附近唯一确定了满足yo=f(x),=0=g(x)的 隐函数 y=f(x),z=g(x),x∈O(x0,E)。 且有 f(x)=0(FC()/c(FG(P),8(x0) OF,G) (P) a(F,G (P)。 a(二,x) a(,z a(x, y) a(, 3) 于是,曲线厂在P点的切线方程为 X-x y-y O(F,G) O(F,G) (,x)( a(F,G) (P0) a(, 3) a( a(,y) 法平面方程为 OFG) Po)(x-xo) a(F,G) ((y-y)+ O(F,G) (0(=-20) V2 a(z a(,y)

由于矩阵 J 在P0 点满秩，不失一般性，假设在P0 点成立 0 ( , ) ( , ) =    y z y z G G F F y z F G 。 由隐函数存在定理，在P0点附近唯一确定了满足 ( ), ( ) 0 0 0 0 y = f x z = g x 的 隐函数 y = f (x), z = g(x)， ( , ) 0 xO x  。 且有 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 P0 y z F G P x y F G P g x y z F G P z x F G f x      =      = 。 于是，曲线 在P0 点的切线方程为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 P x y F G z z P z x F G y y P y z F G x x   − =   − =   − ； 法平面方程为 ( )( ) 0 ( , ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 − 0 =   − +   − +   P z z x y F G P y y z x F G P x x y z F G

由空间解析几何知道,由一点及两个线性无关(即非平行)的 向量确定一张过该点的平面(称为这两个向量张成的平面),平面上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理121曲线{(xB)=0在点的法平面就是由梯度向量 G(,y,2) gradA()和 gradE(P)张成的过P的平面 证记该曲线为厂。由于矩阵/=/FFF 满秩,因此 G. G gradF(P)=(F(PO),F(Po),F(Po)) gradG(P)=(G(Po),G,(Po),G (Po)) 线性无关,因此它们可以张成一个过P点的平面

由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的 向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面），平面上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理 12.5.1 曲线    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z 在P0 点的法平面就是由梯度向量 0 gradF P( )和 0 gradG P( )张成的过P0 的平面。 证 记该曲线为 。由于矩阵         = x y z x y z G G G F F F J 满秩，因此 0 gradF P( ) ( ( ), ( ), ( )) = Fx P0 Fy P0 Fz P0 与 0 gradG P( ) ( ( ), ( ), ( )) = Gx P0 Gy P0 Gz P0 线性无关，因此它们可以张成一个过P0 点的平面π

要证明平面π就是曲线厂在P点的法平面,只要证明r在P点的 切向量与兀垂直,即与 gradF(P)和 gradE(P)均垂直即可 因为曲线厂在P点的切向量为 O(F,G)/n、O(F,G) () ) a( 0((FG x, y) 于是 I gradF) -.(P) O(F G(P)+E(P)(F, G() +E(PO(F, G(P) a(,s a(z,x) a(x, y) F(O)Fy() F(P F(P)F(P)F (PO)E0 G(P)G(P)G(P) 同理τ grad(P)=0。因此平面π就是曲线r在P点的法平面

要证明平面π就是曲线 在P0 点的法平面，只要证明 在P0 点的 切向量与π垂直，即与 0 gradF P( )和 0 gradG P( )均垂直即可。 因为曲线 在P0 点的切向量为 000 ( , ) ( , ) ( , ) ( ), ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) F G F G F G PPP y z z x x y    =         ， 于是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z x y z F G F G F G F(P ) F P P F P P F P P y z z x x y F P F P F P F P F P F P G P G P G P     = + +    = =  grad 同理 0   = gradG(P ) 0。因此平面π就是曲线 在P0 点的法平面