§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为m平面上的开集,V是xy平面上开集,映射 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r1:v=(x,y),v=V(x,y)。 在U中取直线u=l0,就相应得到x平面上的一条曲线 (u0,y),y=y(u0,v) 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的-曲线 (,v0),y=y(l,yv0
§3 重积分的变量代换
§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为m平面上的开集,V是xy平面上开集,映射 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r1:v=(x,y),v=V(x,y)。 在U中取直线u=l0,就相应得到x平面上的一条曲线 (u0,y),y=y(u0,v) 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的-曲线 (,v0),y=y(l,yv0 由于映射T是一一对应的,因此上的任意一点P既可以唯一地 用(x,y)表示,也可以唯一地用(u,0)表示。我们称v-曲线和v曲线构 成了曲线坐标网,称(,v)为P的曲线坐标,而称T为坐标变换
§3 重积分的变量代换
例如,在映射r:x=rcos,y=rsi下,-曲线是一族以原点 为圆心的同心圆,r-曲线是一族从原点出发的半射线,它们构成平 面上的极坐标网。(r,θ)为点P(x,y)的极坐标,T即为极坐标变换。 曲线 y曲线 图13.3.1
二重积分的变量代换 假设x=x(vn,ν),y=y(v,)具有连续偏导数,且有 a(x,y 0,则由 d(u v) 连续性可知xy)在U上不变号。因此,对U中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D,记它的像为E=7(D)cV,则D的内点和边界分别 被映为E的内点和边界,同时,由于连通集的像也连通,所以E=T(D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下,有如下的二 重积分的变量代换公式
定理13.3.1(二重积分变量代换公式)映射和区域D如上假 设。如果二元函数f(x,y)在(D)上连续,则 f(x, y)dxdy=ll f(x(u, v),y(u, v) dudu 0(l,v) 显然,当f(x,y) 时,由以上定理得 1(x, youd=m7(D)(即D)的面积) 0(l,y)
定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi行列式的几何意 义和应用。 (u0,v0) (G) x 图13.3.2 设T,D满足本节开始时的假定,(u0,v)是区域D中的一点,σ是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域,并记d(a)为a的直径(见图 13.3.2)
那么由定理133.1和重积分的中值定理,得 a(x m7(o) dudu 0 O(,v) ( 其中(r,s)为a中一点。因此 mT(o)a(x d(o)0 mo a((u,v) 或等价地 m1()~o(x,y mo (d(o a(u, v) (u0,v0) 这说明x的几何意义为面积的比例系数。 (,yv)
例13.3.1计算曲线(x-y)2+x2=a2(a>0)所围区域D的面积。 解作变换x=,x-y=,则曲线方程对应于n2+12=a2 (x-y) 图13.3.3 这个变换将左边的圆盘 对应地映为右边的椭圆区 域D。由于 (x,y)-10 a(l,y)|1 因此D的面积为 0(x dvdy=a2
例133.2求双曲线xy=p,xy=q与直线y=ax,y=bx在第一象限 所围图形的面积,其中q>p>0,b>a>0 P b -aX P 图13.3.4
解在变换x=n,=下,区域D被一一对应地映为 )p≤u≤q,a≤v≤b},这时有 ,y=√m,于是 a(x,y) du, v) 21-2 2v 因此,所求面积为 a(x, y b dudu dudu=i du -dv=i(g-p)Ir