《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十四章 曲线积分、曲面积分与场论（14.5）场论初步

§5场论初步 在实际应用中,常常需要考察某种物理量(如温度,密度,电场 强度,力,速度等)在空间的分布和变化规律,从数学和物理上看这 就是场的概念。 设2R3是一个区域,若在时刻t,Ω中每一点(x,y,z)都有一个确 定的数值∫(x,y,x,1)(或确定的向量值f(x,y,,1))与它对应,就称函数 ∫(x,y,=,1)为Ω上的数量场(或向量场)。例如,某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场,它称为温度场;而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场,它称为速度场,如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化,就称该场为稳定场;否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明,我们只考虑稳定场

在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场 强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这 就是场的概念。 设 3  R 是一个区域，若在时刻t，中每一点(x, y,z)都有一个确 定的数值 f (x, y,z,t)（或确定的向量值 f (x, y,z,t) ）与它对应，就称函数 f (x, y,z,t) 为上的数量场（或向量场）。例如，某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化，就称该场为稳定场；否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。 §5 场论初步

梯度 2上任何一个三元函数f(x,y,)都可以看成是2上的一个数量 场。设∫(x,y,x)在上具有连续偏导数,则其梯度为 gadf=fi+∫,j+fk, 而且沿方向 I=cos(L, x)i+cos(l, y)j+cos(l, z)k 的方向导数可以表示为 a grad

梯度 上任何一个三元函数 f (x, y,z)都可以看成是上的一个数量 场。设 f (x, y, x)在上具有连续偏导数，则其梯度为 x y z grad f f f f = + + i j k ， 而且沿方向 l = cos(l, x)i + cos(l, y) j + cos(l,z)k 的方向导数可以表示为 f f l  =   grad l

曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为f的等值面。若,,不同时为零,那么n=+fj+!k 为 f +f. 等值面上的一个单位法向量,并且有 = grad f及 grad f

曲面 f (x, y,z) = c （常数） 称为 f 的等值面。若 x y z f , f , f 不同时为零，那么 2 2 2 x y z x y z f f f f f f + + + + = i j k n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n  =  grad 及 f f n  =  grad n

曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为f的等值面。若,,不同时为零,那么n=+fj+!k 为 f +f. 等值面上的一个单位法向量,并且有 = grad f及 grad f 这说明,f在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同,这个法线方向就是f的方向导数取到最大值grad的方向, 于是,沿着与梯度方向相同的方向,∫的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向,f的方向导数取到最小值-| grad f,于是,沿 着与梯度方向相反的方向,函数值减少最快

这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值− grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。 曲面 f (x, y,z) = c （常数） 称为 f 的等值面。若 x y z f , f , f 不同时为零，那么 2 2 2 x y z x y z f f f f f f + + + + = i j k n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n  =  grad 及 f f n  =  grad n

由数量场∫产生的向量场 grad f=fi+j+fk称为梯度场 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数z=f(x,y) 来表示,图14.5.1是等高线图,即f(x,y)=c的图形。当雪融化时,由 于重力的作用,雪水会沿高度下降最快的方向,即- grad f方向流动, 溪流就是这样形成的 图14.5.1

由数量场 f 产生的向量场 x y z grad f f f f = + + i j k 称为梯度场。 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 z = f (x, y) 来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 f (x, y) = c的图形。当雪融化时，由 于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即−grad f 方向流动， 溪流就是这样形成的。 图14.5.1

通量与散度 设Ω上稳定流动的不可压缩流体(假定其密度为1)的速度场为 ν=v2(x,y,z)i+v,(x,y,)j+v(x,y,)k, 其中v,,v:具有连续偏导数。设是2中的一片定向曲面,则单位时 间内通过Σ流向指定侧的流量为 D=[V2(x, y, =dyd=+v, (x, y, =)ddx +v(x, J, =)drdy=[v- nds=[vds 其中n= COS aL+cosB+ cosy为上在(x,y)处的、在指定侧的单位法向 量

通量与散度 设上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为 v = vx (x, y,z)i + vy (x, y,z) j + vz (x, y,z)k ， 其中 x y z v , v , v 具有连续偏导数。设是中的一片定向曲面，则单位时 间内通过流向指定侧的流量为 ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d d x y z v x y z y z v x y z z x v x y z x y S    = + + =    v n d  =   v S， 其中 n = cosi + cos  j + cos k 为在(x, y,z)处的、在指定侧的单位法向 量

显然,Φ>0说明向指定侧穿过曲面∑的流量多于向相反方向穿 过曲面Σ的流量;Φ0说明从曲面内 的流出量大于流入量,此时在∑内必有产生流体的源头(源);Φ<0 说明从曲面内的流出量小于流入量,此时在Σ内必有排泄流体的漏 洞(汇)

显然，   0 说明向指定侧穿过曲面  的流量多于向相反方向穿 过曲面 的流量；   0说明向指定侧穿过曲面 的流量少于向相反 方向穿过曲面 的流量； = 0说明向指定侧穿过曲面 的流量等于 向相反方向穿过曲面 的流量。 如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么  0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）；  0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）

要判断场中一点M(x,y,z)是否为源或汇,以及源的“强弱”或汇 的“大小”,可以作一张包含M的封闭曲面∑(定向为外侧),考察∑ 所围区域收缩到M点时(记为P→M),①=νds的值。但因为 V→M时有d→0,所以考虑 v·dS Im =im →MmW→Mm (mv为v的体积)。由 Gauss公式,并利用积分中值定理, =』vds= JJv.dyds+d+dy O av dxrdydz m ax ay a ax ay a 其中M为V上某一点

要判断场中一点M (x, y,z)是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇 的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察 所围区域V 收缩到 M 点时（记为V →M ）， d   =   v S 的值。但因为 V →M 时有 →0，所以考虑 d lim lim M M m m   → →  =  V V v S V V （mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理， d d d d d d d ddd x y z x x y y z z M v y z v z x v x y v v v v v v x y z m x y z x y z    =  = + +           = + + = + +                   。 V v S V 其中 ~ M 为V 上某一点

于是 lim d_lim +a+2c)=(x,y2)+2,(xy=2)+(xy yMmv M-M( ax ayaz +0y az 因此,可以用 x,y,z),",(xy,2),Ov,(x,y,z) 2 来判别场中的点是源还是汇,以及源的“强弱”或汇的“大小

于是 ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim lim x x y y z z M M M M v v x y z v v x y z v v x y z m x y z x y z  → →         = + + = + +   V V         。 因此，可以用 z v x y z y v x y z x v x y z x y z   +   +   ( , , ) ( , , ) ( , , ) 来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小

定义14.5.1设 a(x,y, z)=P(x,y, z)i+O(,y,zj+R(x,y, z)k, (x,y,2)∈ 是一个向量场,P(x,y,z)Q(x,y,z),R(x,y,=)在2上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 fads 为向量场a沿指定侧通过曲面的通量。 设M为这个场中任一点。称 aP OR (M)+-=(M)+(M x ay 为向量场a在M点的散度,记为dwa(M)

定义 14.5.1 设 a i j k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) x y z P x y z Q x y z R x y z x y z = + +  是一个向量场，P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)在上具有连续偏导数。 为场中的定向曲面，称曲面积分 d   =   a S 为向量场a沿指定侧通过曲面的通量。 设 M 为这个场中任一点。称 ( ) ( ) (M ) z R M y Q M x P   +   +   为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M )