s4闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1若函数f(x)在闭区间[a,b上连续,则它在[a,b上有 界。 证用反证法。 若(x)在ab上无界,将6等分为两个小区间aa+2与 a+,b1,则()至少在其中之一上无界,把它记为[a小 2 再将闭区间[与等分为两个小区间a,44与4+b,b, 同样f(x)至少在其中之一上无界,把它记为[a2,b2];
§4 闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1 若函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有 界。 证 用反证法。 若 f (x) 在[a,b]上无界，将[a,b]等分为两个小区间 + 2 , a b a 与 + b a b , 2 ，则 f (x) 至少在其中之一上无界，把它记为a b 1 1 , ； 再将闭区间a b 1 1 , 与等分为两个小区间 + 2 , 1 1 1 a b a 与 + 1 1 1 , 2 b a b ， 同样 f (x) 至少在其中之一上无界，把它记为[ a2 ,b2 ]； ……
这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{an,bn},f(x)在 其中任何一个闭区间[an,bn]上都是无界的。 根据闭区间套定理,存在唯一的实数属于所有的闭区间[an,bn], 并且 E= lim a=limb。 n→① 因为ξ∈[ab],而f(x)在点连续,所以存在δ>0,M>0,对于一切 x∈O,δ)∩[ab],成立 f(x)≤M。 由于iman= lim b=5,又可知道对于充分大的n, n→ [an,b]cO(5,δ)∩[a,b], 于是得到f(x)在这些闭区间[an,bn](n充分大)上有界的结论,从而产生 矛盾。 证毕
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[ , ] n n a b }， f (x) 在 其中任何一个闭区间[ , ] n n a b 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间[ , ] n n a b ， 并且 = lim n→ an =lim n→ bn 。 因为 [a,b]，而 f (x) 在点 连续，所以存在 0，M 0，对于一切 xO(, )∩[a,b]，成立 f x M ( ) 。 由于lim n→ an =lim n→ bn = ，又可知道对于充分大的n， [ , ] n n a b O(, )∩[a,b]， 于是得到 f (x) 在这些闭区间[ , ] n n a b (n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕
开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如f(x)=-在开区间(0,1)上连续,但显然是无界的
开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如 1 f x( ) x = 在开区间(0,1)上连续，但显然是无界的
最值定理 定理3.4.2若函数f(x)在闭区间[a,b上连续,则它在[a,b上必 能取到最大值与最小值,即存在ξ和n∈ab],对于一切x∈[a,b成立 f(95)≤f(x)≤f(n)o 证集合R={f(x)|x∈[ab]}是有界数集,所以必有上确界与下 确界,记 a=inf R,, B=sup r 由于对任意给定的E>0,存在x∈ab,使得f(x)<a+E。于是取 En=(n=1.2,3…)相应地得到数列{xn},xn∈{a,b],满足 a≤f(xn)<a+-
最值定理 定理3.4.2 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必 能取到最大值与最小值，即存在 和 [ , ] a b ，对于一切 x a b [ , ]成立 f f x ( ) ( ) f ( ) 。 证 集合 Rf = { f x x a b ( ) | [ , ] }是有界数集，所以必有上确界与下 确界，记 inf = Rf ， sup = Rf 。 由于对任意给定的 0，存在 x a b [ , ]，使得 f x( ) + 。于是取 n = 1 n （n = 1,2,3, ）相应地得到数列{ x n }， x n [a,b]，满足 ( ) n f x 1 n +
因为{xn}是有界数列,应用 bolzano- Weierstrass i定理,存在收敛子列 imxn=5,且ξ∈[a,b]。 考虑不等式 a≤f(xn)<a+-,k=1,2,3,…, 令k→∞,由极限的夹逼性与f(x)在点E的连续性,得到 ∫(5)=a 这说明f(x)在[a,b上取到最小值a,即a=minR, 同样可以证明存在n∈abl,使得f(m)=B=maxR 证毕
因为{ x n }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 { xnk }： lim k→ xnk = ，且 [a,b]。 考虑不等式 ( ) k n f x + 1 nk ， k = 1,2,3，…， 令k→∞，由极限的夹逼性与 f (x) 在点 的连续性，得到 f ( ) = 。 这说明 f (x) 在[a,b]上取到最小值 ，即 min = Rf 。 同样可以证明存在 [ , ] a b ，使得 f () = = max Rf 。 证毕
同样,开区间上的连续函数即使有界,也不一定能取到它的最大 (小)值。例如,f(x)=x在(0,1)上连续而且有界,因而有上、下确界 a=inf{f(x)x∈(0,1)}=0, β=sup{f(x)x∈(0,1)}=1, 但是f(x)在区间(0.,)上取不到a=0与B=1
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， f x x ( ) = 在(0,1)上连续而且有界，因而有上、下确界 = inf { f x( ) | x(0,1)} = 0， = sup { f x( ) | x(0,1)} = 1， 但是 f (x) 在区间(0,1)上取不到 = 0与 =1
零点存在定理 定理3.4.3若函数f(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)·f(b)0,定义集合V: x|f(x)0,x∈[a,a+a1:f(x)0, 3a2>0,x∈(b-62b]:f(x)>0。于是可知 a+δ1≤5≤b- 即ξ∈(a,b)
零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 ，则一 定存在 (a,b)，使 f ( ) 0 = 。 证 不失一般性，设 f a( ) 0 ， f b( ) 0 ，定义集合V： V = { x f x x a b ( ) 0, [ , ] }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 = supV ， 现证 (a,b)，且 f ( ) 0 = 。 由于 f (x) 连续，f a( ) 0 ， 1 0， 1 + x a a [ , ] ：f x( ) 0 ；再由 f b( ) 0 ， 2 0， x 2 ( , ] b b − ： f x( ) 0 。于是可知 1 a + 2 b − ， 即 (a,b)
取x∈V(n=1,2,…),x→5(n→>∞),因f(x,)0,Mx∈O,δ) f(x)<0, 这就与E=sup产生矛盾。于是必然有 f(5)=0 证毕
取 ( 1,2, ) n x V n = ， n x → （n→ ∞），因 ( ) 0 n f x ，得到 ( ) lim ( ) 0 n n f f x → = 。 若 f ( ) 0 ，由 f (x) 在点 的连续性， 0， x O( , ) ： f x( ) 0 ， 这就与 = supV 产生矛盾。于是必然有 f ( ) 0 = 。 证毕
例3.4.1讨论多项式p(x)=2x3-3x2-3x+2零点的位置。 解 0 p(x) 20 p(x)的三个零点(或根)分别落在区间(-2,0),(0,1)与,3)内。事实上, p(x)=2(x+Xx-2x-2),它的三个零点为x=1,x2=2,x=2
例3.4.1 讨论多项式 3 2 p x x x x ( ) 2 3 3 2 = − − + 零点的位置。 解 x -2 0 1 3 p x( ) -20 2 -2 20 p x( )的三个零点（或根）分别落在区间( 2,0) − ,(0,1)与(1,3)内。事实上， 1 ( ) 2( 1)( )( 2) 2 p x x x x = + − − ，它的三个零点为 x1 = −1， x2 = 1 2 ， x3 = 2
例34.2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a,b) c[a,b,则存在∈[a,b,f(5)=5(这样的称为f(x)的一个不动点。) 证设g(x)=f(x)-x,则g(x)在[a,b上连续,由f(a,b]) [a,b],可知g(a)≥0,g(b)≤0。 若g(a)=0,则有5=a;若g(b)=0,则有ξ=b;若g(a)>0,g(b)<0, 则由定理3.4.3,必存在∈(a,b),使得g(2)=0,即f(2)=5 本例中闭区间[a,b不能改为开区间。例如f(x)=在开区间(0,1)上连续, 且f(0,1)c(0,1),但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点
例3.4.2 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f ([a,b]) [a,b]，则存在 [a,b]，f ( ) = （这样的 称为 f (x) 的一个不动点。） 证 设 g x f x x ( ) ( ) = − ，则 g x( )在[a,b]上连续，由 f a b ([ , ]) [a,b]，可知 g a( ) 0 ， g b( ) 0 。 若 g a( ) 0 = ，则有 = a ；若 g b( ) 0 = ，则有 = b；若 g a( ) 0 ，g b( ) 0 ， 则由定理3.4.3，必存在 (a,b)，使得 g( ) 0 = ，即 f ( ) = 。 本例中闭区间[a,b]不能改为开区间。例如 ( ) 2 x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1) ，但 f x( ) 在开区间 (0,1) 中没有不动点