§3有理函数的不定积分及其应用 有理函数的不定积分 形如P2(x) q,(x) 的函数称为有理函数,这里pn(x)和q1(x)分别是m次和 n次多项式。在本节中,我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法,证明这样的一个结论:有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外,对于求某些其他类型函数的不定积分,如无理函数、三角函数的 不定积分问题,也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分 题而得到解决
有理函数的不定积分 形如 p x q x m n ( ) ( ) 的函数称为有理函数，这里 p x m ( )和 q x n ( )分别是 m 次和 n次多项式。在本节中，我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法，证明这样的一个结论：有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外，对于求某些其他类型函数的不定积分，如无理函数、三角函数的 不定积分问题，也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分问 题而得到解决。 §3 有理函数的不定积分及其应用
在考虑有理函数的不定积分P2(2时,我们总假定2(是真 分式,即成立m<n。因为不然的话,可以通过多项式的带余除法,使 得 r(x) qn(r)pm,(x)+ q, 其中pn(x)是m-n次多项式,而r(x)是次数不超过n-1的多项式。这 样就得到 P(x) r(X x三 pm-n(x) 为了讨论的方便,我们假定qn(x)的最高项系数为1
在考虑有理函数的不定积分 ( ) ( ) m n p x x q x d 时，我们总假定 p x q x m n ( ) ( ) 是真 分式，即成立 m n 。因为不然的话，可以通过多项式的带余除法，使 得 p x q x p x r x q x m n m n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + ， 其中 p x m−n ( )是m − n次多项式，而r(x)是次数不超过n − 1的多项式。这 样就得到 ( ) ( ) m n p x x q x d ( ) ( ) ( ) m n n r x p x x x q x = + − d d 。 为了讨论的方便，我们假定 q x n ( ) 的最高项系数为 1
由代数学基本定理,分母多项式qn(x)在复数域上恰有n个根 由于q(x)是实多项式,因此它的根要么是实根,要么是成对出现的 共轭复根。设q(x)的全部实根为a1,a2,…,a,其重数分别为 全部复根为B±in,B2± B±iy,其重数分别 为n, (∑m+2∑n=n) k=1 记=-B,n2=B2+y2(2<n2),则在实数域上可将qn(x) 因式分解为 q, (x)=flex-akms(x2+25kx+n2)" k=1
由代数学基本定理，分母多项式 q x n ( ) 在复数域上恰有 n 个根。 由于q x n ( )是实多项式，因此它的根要么是实根，要么是成对出现的 共轭复根。设 q x n ( )的全部实根为 1 , 2 ,…, i ，其重数分别为 m1 , m2 ,…, mi ，全部复根为 1 1 i , 2 2 i ,…, i j j ，其重数分别 为n1 , n2 ,…, n j （ mk n n k i k k j = = + = 1 1 2 ）。 记 k = − k ， 2 2 2 k k k = + （ 2 2 k k ），则在实数域上可将q x n ( ) 因式分解为 q x n ( )= = = − + + j k n k k i k m k k k x x x 1 2 2 1 ( ) ( 2 )
求有理函数的不定积分∫2的关键,是将有理函数2(分解 4n 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.3.1设有理函数Px是真分式,多项式q(x)有k重实根a, g(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p1(x)的次 数低于(x-a)-q(x)的次数,成立 p(r p,(x q(x)(x-a)(x-a)-q1(x)
求有理函数的不定积分 ( ) ( ) m n p x x q x d 的关键，是将有理函数 ( ) ( ) q x p x n m 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式q(x) 有k 重实根 ， 即 ( ) ( ) ( ) 1 q x x q x k = − ，q1 () 0。则存在实数 与多项式 ( ) 1 p x ， ( ) 1 p x 的次 数低于( ) ( ) 1 1 x q x k− − 的次数，成立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x q x p x q x x p x k k− − + − =
求有理函数的不定积分∫2的关键,是将有理函数2(分解 4n 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.3.1设有理函数Px是真分式,多项式q(x)有k重实根a, g(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p1(x)的次 数低于(x-a)-q(x)的次数,成立 p(r p,(x q(x)(x-a)(x-a)-q1(x) 证令四)=2,则x=a是多项式px)-4(x)的根,设 q(a) p(x)-q1(x)=(x-a)p1(x) 就得到 p(x) P1(x) q(x)(x-a)(x-a)-g1(x)
证 令 = ( ) ( ) q1 p ，则 x = 是多项式 ( ) ( ) 1 p x − q x 的根，设 ( ) ( ) 1 p x − q x ( ) ( ) 1 = x − p x ， 就得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x q x p x q x x p x k k− − + − = 。 求有理函数的不定积分 ( ) ( ) m n p x x q x d 的关键，是将有理函数 ( ) ( ) q x p x n m 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式q(x) 有k 重实根 ， 即 ( ) ( ) ( ) 1 q x x q x k = − ，q1 () 0。则存在实数 与多项式 ( ) 1 p x ， ( ) 1 p x 的次 数低于( ) ( ) 1 1 x q x k− − 的次数，成立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x q x p x q x x p x k k− − + − =
定理6.3.2设有理函数以x是真分式,多项式q(x)有1重共轭复 g(x) 根B±iy,即q(x)=(x2+2(x+n2)yq*(x),q*(B±i1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(22<n2)。则存在实数u,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25+n2)q*(x)的次数,成立 uu V p*(x) q(x)(x2+25x+n (x2+25+n2)2q*(x)°
定理 6.3.2 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式 q(x) 有 l 重共轭复 根 i ,即 ( ) ( 2 ) *( ) 2 2 q x x x q x l = + + ， q *( i ) 0 ，其中 = − ， 2 2 2 = + （ 2 2 ）。则存在实数, 和多项式 p * (x)， p * (x)的次数 低于( 2 ) *( ) 2 2 1 x x q x l− + + 的次数，成立( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + =
定理6.3.2设有理函数以x是真分式,多项式q(x)有1重共轭复 9(x 根B±iy,即q(x)=(x2+2(x+n2)yq*(x),q*(B±i1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(22<n2)。则存在实数u,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25+n2)q*(x)的次数,成立 uu V p*(x) q(x)(x2+2+n2)(x2+25x+n2)-q*(x)° 证令 P(B+ir =(B+1y)+v g *(B+in) 其中,v为实数,则 plB-ir) =(B-1y)+v, q*(B-1y) 于是x=B±iy是多项式p(x)-(ax+v)y*(x)的根,设 p(x)-(x+v)q*(x)=(x2+25x+n2)p*(x), 就得到 P(x) La+ v p*(x) q(x)(x2+2(+n2)(x2+25x+n2)
证 令 ( i ) ( i ) *( i ) p q + = + + + ， 其中, 为实数，则 ( i ) ( i ) *( i ) p q − = − + − ， 于是 x = i 是多项式 p(x) − (x + )q *(x)的根，设 p(x) − (x + )q *(x) = ( 2 ) *( ) 2 2 x + x + p x ， 就得到 ( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + = 。 定理 6.3.2 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式 q(x) 有 l 重共轭复 根 i ,即 ( ) ( 2 ) *( ) 2 2 q x x x q x l = + + ， q *( i ) 0 ，其中 = − ， 2 2 2 = + （ 2 2 ）。则存在实数, 和多项式 p * (x)， p * (x)的次数 低于( 2 ) *( ) 2 2 1 x x q x l− + + 的次数，成立( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + =
重复应用定理6.3.1与6.3.2,可将有理函数 pn(x) Pm(r) q,(X) 25kx+n2) 分解成简单分式之和,分解的规律是:若g(x)含有因子(x-a),则 在和式中就有项 x-ar (x-a 若qn(x)含有因子(x2+25x+n2)",则在和式中就有项 unIx Ak2x t vk2 ukn, xtl 5x+n2(x2+25x+m2)2 (x2+25x+mk) P(x) x+v q,(x) ∑ Gala(x-a,) +∑∑ kala=(x+25 x+n) 其中λ、μ、v可以用待定系数法具体算出来
重复应用定理 6.3.1 与 6.3.2，可将有理函数 p x q x m n ( ) ( ) = = − + + = j k n k k i k m k m k k x x x p x 1 2 2 1 ( ) ( 2 ) ( ) 分解成简单分式之和，分解的规律是：若q x n ( )含有因子 mk k (x − ) ，则 在和式中就有项 k k x − 1 , 2 2 ( ) k k x − ,…, k k m k k m (x ) − ； 若q x n ( )含有因子 k n k k (x 2 x ) 2 2 + + ，则在和式中就有项 2 2 1 1 2 k k k k x x x + + + , 2 2 2 2 2 ( 2 ) k k k k x x x + + + ,…, k k k n k k k n k n x x x ( 2 ) 2 2 + + + 。 即 p x q x m n ( ) ( ) = = = = + + + + − = j k n r r k k k r k r i k m r r k k r k k x x x x 1 1 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) ， 其中k r、 k r、 k r可以用待定系数法具体算出来
由不定积分的线性性质,即知 它所涉及的不定积分只有两种类型:
由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x d 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) m n k k i j k r k r k r r r k r k r k k k x x x x x x = = = = + = + − + + d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：
由不定积分的线性性质,即知 它所涉及的不定积分只有两种类型: (n≥1) (x-a) 在例6.2.1,我们已经得到 (x-a) +C.n≥2
⑴ ( )n x x − d （ n 1）。 在例 6.2.1，我们已经得到 1 ln| | , 1, 1 1 ( ) , 2 . 1 ( ) n n x C n x x C n n x − − + = = − − + − − d 由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x d 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) m n k k i j k r k r k r r r k r k r k k k x x x x x x = = = = + = + − + + d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：