§5应用举例 本节介绍函数微分的一些应用,包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用 极值问题 f(x)的全部极值点必定都在使得∫(x)=0和使得f(x)不存在的 点集之中。使f(x)=0的点称为f(x)的驻点
本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f (x)的全部极值点必定都在使得 f (x) = 0和使得 f (x)不存在的 点集之中。使 f (x) = 0的点称为 f (x)的驻点。 §5 应用举例
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x0点连续。 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x0-6,x)与(xn,x0+)上可导, (i)若在(x0-δ,x)上有∫(x)≥0,在(x,x+δ)上有f(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (ii)若在(x-6,x)上有f(x)≤0,在(x0,x+δ)上有f(x)≥0, 则x。是f(x)的极小值点 (i)若f(x)在(xo-o,x)与(x0,x+)上同号,则x0不是f(x)的 极值点
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 f (x) 在 x 0 点的某一邻域中 有定义，且 f (x)在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0，使得 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上可导， (i) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0， 则 x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上同号，则 x 0 不是 f (x) 的 极值点
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x0点连续。 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x0-6,x)与(xn,x0+)上可导, (i)若在(x0-δ,x)上有∫(x)≥0,在(x,x+δ)上有f(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (ii)若在(x-6,x)上有f(x)≤0,在(x0,x+δ)上有f(x)≥0, 则x。是f(x)的极小值点 (i)若f(x)在(xo-o,x)与(x0,x+)上同号,则x0不是f(x)的 极值点 2)设f(x)=0,且f(x)在x0点二阶可导, (i)若f"(x)0,则x0是f(x)的极小值点; (i)若∫"(x)=0,则x0可能是f(x)的极值点,也可能不是f(x) 的极值点
⑵ 设 f (x0 ) = 0 ，且 f (x) 在 x 0 点二阶可导， (i) 若 f (x0 ) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若 f (x0 ) 0，则x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x0 ) = 0，则x 0 可能是 f (x)的极值点，也可能不是 f (x) 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 f (x) 在 x 0 点的某一邻域中 有定义，且 f (x)在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0，使得 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上可导， (i) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0， 则 x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上同号，则 x 0 不是 f (x) 的 极值点
证(1)的结论显然,我们只证(2) 因为f(x)=0,由 Taylor公式 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+ (x-xo)+o((x-xo 2! =f(x0)+ f(0(x=x)2+o(x-x0) 得到 f(x)-f(x)_1 f∫"(x0)+ o(x-x0)2 (x-x0)2 因为当x→x时上式右侧第二项趋于0,所以当∫(x)0的情况 证毕
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 f x ( ) 0 = ，由 Taylor 公式 f (x) = f (x0 ) + f ( 0 x ) 2! ( ) ( ) 0 0 f x x x − + − + 2 0 (x x ) (( ) ) 2 0 o x − x = f (x0 ) + 2! ( ) 0 f x − + 2 0 (x x ) (( ) ) 2 0 o x − x 得到 0 2 0 ( ) ( ) ( ) f x f x x x − = − 2 0 2 0 0 ( ) (( ) ) ( ) 2! 1 x x o x x f x − − + 。 因为当 0 x → x 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 f (x0 ) 0时，由极限的 性质可知在 0 x 点附近成立 0 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − − x x f x f x , 所以 ( ) ( ) 0 f x f x ， 从而 f (x)在 0 x 取极大值。同样可讨论 f (x0 ) 0的情况。 证毕
关于定理55.1中(2)(ii),可分别考察函数y=x,y=-x4和 y=x3。x=0是y=x4的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x3 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y0)=0的条件
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 y = x , 4 y = −x 和 3 y = x 。x = 0是 4 y = x 的极小值点，是 4 y = −x 的极大值点，而不是 3 y = x 的极值点。但它们都满足 y (0) = 0和 y (0) = 0的条件
关于定理55.1中(2)(ii),可分别考察函数y=x,y=-x4和 y=x3。x=0是y=x4的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x3 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y0)=0的条件 例55.1求函数(x)=(2x-x2)2的极值 解函数f(x)的定义域为(-∞+∞)。由 f'(x)=-(2x-x2)3(1-x), 可知f(x)的驻点为x=1,使得f(x)不存在的点为x=0和x=2。由于 (1)当-∞0; (3)当10, 由定理551中(1)的结论知f(O)=0是极小值,f(1)=1是极大值, f(2)=0是极小值
例 5.5.1 求函数 3 2 2 f (x) = (2x − x ) 的极值。 解 函数 f (x)的定义域为(−,+) 。由 (2 ) (1 ) 3 4 ( ) 3 1 - 2 f x = x − x − x ， 可知 f (x)的驻点为x =1，使得 f (x)不存在的点为x = 0和x = 2。由于 （1）当− x 0时， f (x) 0； （2）当0 x 1时， f (x) 0； （3）当1 x 2时， f (x) 0； （4）当2 x +时， f (x) 0， 由定 理 5.5.1 中(1)的结论知 f (0) = 0 是极小值， f (1) = 1是极大值， f (2) = 0是极小值。 关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 y = x , 4 y = −x 和 3 y = x 。x = 0是 4 y = x 的极小值点，是 4 y = −x 的极大值点，而不是 3 y = x 的极值点。但它们都满足 y (0) = 0和 y (0) = 0的条件
例5.5.2求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)。计算得 f(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-1)(5x2-1)。 显然f(x)的驻点为x=0,x=1和x=-1。由于f(0)=6>0,所以由定理 5.51中(2)的结论知f()=0是极小值。 由于f(±1)=0,不能用定理551中(2)的结论。但由于f(x)在 x=1与x=-1的左、右两侧保持同号,由定理551中(1)的结论,知f(1) 和f(-1)都不是函数f(x)的极值
例 5.5.2 求函数 ( ) ( 1) 1 2 3 f x = x − + 的极值。 解 函数 f (x)的定义域为(−,+) 。计算得 2 2 f (x) = 6x(x −1) ， ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 。 显然 f (x)的驻点为 x = 0，x =1和 x = −1。由于 f (0) = 6 0，所以由定理 5.5.1 中(2)的结论知 f (0) = 0是极小值。 由于 f (1) = 0，不能用定理 5.5.1 中(2)的结论。 但由于 f (x) 在 x =1与 x = −1的左、右两侧保持同号，由定理 5.5.1 中(1)的结论，知 f (1) 和 f (−1)都不是函数 f (x)的极值
最值问题 闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值 函数的最大值与最小值统称为函数的最值,使函数取到最大值 (或最小值)的点称为函数的最大值点(或最小值点),也称为函数 的最值点。 对于一个定义于闭区间[b]上的函数f(x)来说,区间的两个端点 a与b有可能成为它的最值点。同时,若最值点属于开区间(a,b)的话, 那它一定是函数的极值点。因此,只要找出所有f(x)的驻点与使f(x) 不存在的点,再加上区间的端点,从中找出使函数取最大值或最小值 的点就可以了
最值问题 闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值 （或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数 的最值点。 对于一个定义于闭区间a,b上的函数 f (x)来说，区间的两个端点 a与b有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间(a,b)的话， 那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有 f (x)的驻点与使 f (x) 不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值 的点就可以了
例5.5.3求函数f(x)=V(2x-x2)2在区间[14上的最大值与最小 值 解由例5.5.1,已知函数f(x)在区间[-14上的极大值点为x=1, 极大值为f()=1,极小值点为x=0与x=2,两个极小值都为0。为了 求最大值与最小值,还须加上函数在区间端点的值f(-1)=9与 f(4)=4。对这些值进行比较,就得到函数f(x)在区间[14上的最大 值点为x=4,最大值为f(4)=4,最小值点为x=0与x=2,最小值为0
例 5.5.3 求函数 3 2 2 f (x) = (2x − x ) 在区间−1,4上的最大值与最小 值。 解 由例 5.5.1，已知函数 f (x)在区间−1,4上的极大值点为 x =1， 极大值为 f (1) = 1，极小值点为x = 0与 x = 2，两个极小值都为0。为了 求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值 3 f (−1) = 9 与 f (4) = 4。对这些值进行比较，就得到函数 f (x)在区间−1,4上的最大 值点为x = 4，最大值为 f (4) = 4 ，最小值点为x = 0与x = 2，最小值为 0
例5.5.4用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头,罐身(侧面和 底部)用整块材料拉制而成,顶盖是另装上去的,设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省? 解设罐身的厚度为δ,则顶盖的厚度是3δ 记罐头的容积为〃,底面半径为r,则高为h=2。于是,罐身的 用料为 U1()=6(m2+2mrh)=6|r2+2 顶盖的用料为 U2(r)=3mr2, 因此问题化为求函数 U(r)=U1(r)+U2(r)=6|4m2+2 的最小值
例 5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和 底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？ 解 设罐身的厚度为 ，则顶盖的厚度是 3 。 记罐头的容积为V ，底面半径为r ，则高为h V r = 2 。于是，罐身的 用料为 ( ) 2 2 1 ( ) π 2π π 2 , V U r r rh r r = + = + 顶盖的用料为 2 2 U r r ( ) 3 = π , 因此问题化为求函数 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 4π 2 V U r U r U r r r = + = + ，r (0,+) 的最小值
