§4函数的 Taylor公式及其应用 函数在x=0处的 Taylor公式 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式 (n) f(x)=f(0)+f(0)x+ r,(x) n 其中r(x)有 Peano余项与 Lagrange余项两种表示形式,即有 rn(x)=o(x"),或 f m*(0) ∈(0,1)。 (n+ 式。下面我们求几个最基本的初等函数的 Maclaurin公 laurin公 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式又称为函数f(x)的Ma
函数在 x = 0 处的 Taylor 公式 函数 f (x)在 x = 0 处的 Taylor 公式 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x r x n f x f f x f f x n n n + + + = + + ， 其 中 r (x) n 有 Peano 余项与 Lagrange 余项两种表示形式，即有 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x r x ， (0,1)。 函数 f (x)在 x = 0处的 Taylor 公式又称为函数 f (x)的 Maclaurin公 式。下面我们求几个最基本的初等函数的 Maclaurin 公式。 §4 函数的Taylor公式及其应用
例5.4.1求f(x)=e在x=0处的 Taylor公式 解对函数f(x)=e有 f(x)=f'(x)=f"(x)=.=f m(x)=e 于是 f(0)=f(0)=f"(0)=…=fn(0)=1, 因此,e2在x=0处的 Taylor公式 1+x+~++…+-,+r2(x) 它的余项为 rn(x)=o(x"),或r(x) ∈(0,1) n+1)
例 5.4.1 求 f x x ( ) = e 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 对函数 f x x ( ) = e 有 n x f (x) f (x) f (x) f (x) e ( ) = = == = ， 于是 (0) (0) (0) (0) 1 ( ) = = = = = n f f f f ， 因此，e x在 x = 0处的 Taylor 公式 2! 3! ! e 1 2 3 n x x x x n x = + + + + + + r x n ( )， 它的余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 , (0,1) ( 1)! e ( ) 1 + = + n x n x n r x
例5.4.2求f(x)=sinx和f(x)=cosx在x=0处的 Taylor公式 解先考虑f(x)=sinx 由于对k=0,1,2…,有 fc(x)=sinx k 于是 k=2n, (-1),k=2n+1, 因此sinx在x=0处的 Taylor公式为 SInx=x 3!5! +(-1) (2n+1)! 相应的余项为 2n+3 或 2n+3 sin| 0x+ (2n+3)! 6∈(0
例 5.4.2 求 f (x) = sin x 和 f (x) = cos x 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 先考虑 f (x) = sin x 。 由于对k = 0, 1, 2, ，有 ( ) ( ) sin π 2 k k f x x = + ， 于是 − = + = = ( 1) , 2 1, 0, 2 , (0) ( ) k n k n f n k 因此sin x在 x = 0处的 Taylor 公式为 (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x x n n + + r x 2n 2 ( ) ， 相应的余项为 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + = n n r x o x ，或 2 3 2 2 2 3 ( ) sin π , (0,1) (2 3)! 2 n n x n r x x n + + + = + +
同理可以求出cosx在x=0处的 Taylor公式为 COSx 十F 2!4! 相应的余项为 2n+2 ranI(x)=o(x2nt), EX Em(x) cos Br+-+2 e∈(0,1) (2n+2)! 2
同理可以求出 cos x 在 x = 0 处的 Taylor 公式为 (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 4 2 n x x x x n n = − + −+ − + + r x 2n 1 ( )， 相应的余项为 ( ) ( ) 2 1 2 1 + + = n n r x o x ，或 2 2 2 1 2 2 ( ) cos π , (0,1) (2 2)! 2 n n x n r x x n + + + = + +
例5.4.3求f(x)=(1+x)(a为任意实数)在x=0处的 Taylor 公式。 解因为 f(0)=(1+x) f(0)=a(1+x)2=a, f"(0)=a(a-1X1+x)21=a(a-), 对任意正整数k,一般地有 f((O)=a(a-1)…(a-k+1)
例 5.4.3 求 f (x) = (1+ x) （ 为任意实数）在 x = 0 处的 Taylor 公式。 解 因为 (0) (1 ) 1 0 = + = x= f x ， = + = = − 0 1 (0) (1 ) x f x ， (0) ( 1)(1 ) ( 1) 0 2 = − + = − = − x f x ， …… 对任意正整数k ，一般地有 (0) ( 1) ( 1) ( ) f = − − k + k
记 a(a-1)…(a-k+1) k k 并规定 0 当a为正整数n时,=C,1≤/≤n,因而它是组合数的推广 由此得到 x+ 0 +r (x) 它的余项为 rn(x)=o(x"),或 (x)=/a (1+ax) (n+1)n+1 ∈(0,1)。 n+
记 , ! ( 1) ( 1) k k k − − + = 并规定 1 0 = 。 当 为正整数n时， n j n j = C ，1 j n，因而它是组合数的推广。 由此得到 n x n x x x x + + + + + + = 2 3 0 1 2 3 (1 ) + r x n ( )， 它的余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 (1 ) , (0,1) 1 ( ) ( 1) 1 + + = − + + n n n x x n r x
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 (1+x)y2=∑xk=∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当 为正整数n时，上式即成为 (1 ) C 0 0 + = = = = x n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 (1+x)y2=∑xk=∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零。 (b)当a=-1时,易知 k/=(-1,因此 1-x+x2-x3+x (-1)"x"+r(x), 1+x 余项为 h(x)=o(x"),或(x)=(-1y, b∈(0,1)。 (1+Ox)”+2
(b)当 = −1 时，易知− = − 1 1 k k ( ) , 因此 n n x x x x x x 1 ( 1) 1 1 2 3 4 = − + − + − + − + + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 1 1 2 ( ) ( 1) , (0,1) (1 ) n n n n x r x x + + + = − + 。 下面是几种最常见的情况。 (a)当 为正整数n时，上式即成为 (1 ) C 0 0 + = = = = x n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
(c)当a=时,对k≥1,有 _(-1)…(号-k+1 k! (1-2)1-4)…(1-2(k-1)2 k=1, (-1) k-1(2k-3) k>1, (2k) 其中记号础为 !/(k-2)k-4)…64·2,k=2n, k(k-2)k-4)…5·3·1,k=2n+1 因此 1+x=1+-x +(-1) 2n-3) x"+r,(x), 2.4.6 (2m)! 余项为 rn(x)=o(x"),或r(x)=(-1) (2n-1)! ∈(0,1) (2n+2)4+0x)
(c) 当 2 1 = 时，对k 1，有 ! ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k − − + = 2 ! (1 2)(1 4) (1 2( 1)) k k k − − − − = − − = = − , 1, (2 )!! (2 3)!! ( 1) , 1, 2 1 1 k k k k k 其中记号k!!为 − − = + − − = = ( 2)( 4) 5 3 1, 2 1. ( 2)( 4) 6 4 2, 2 , !! k k k k n k k k k n k 因此， n n x n n x x x x (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 4 1 2 1 1 1 2 3 1 − − + − + + = + − − + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 1 2 1 (2 1)!! ( ) ( 1) , (0,1) (2 2)!! (1 ) n n n n n x r x n x + + − = − + +
(d)当a=-时,对k≥1,有 2_(-(--1)…(-2-k+1) k k (-1)(-1-2)(-1-4)…(-1-2(k-1) 2KI (2k-1) 因此 tr( x (2m)! 余项为 (x)=o(x"),或r(x)=(-(2n+1)x ∈(01)。 (2n+2)! (1+x)
(d)当 2 1 = − 时，对k 1，有 , (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 ! ( 1)( 1 2)( 1 4) ( 1 2( 1)) ! ( )( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k − = − − − − − − − − − = − − − − − + = − 因此 n n x n n x x x x (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 2 1 1 1 1 2 3 − − + − − = − + + + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 , (0,1) (1 ) (2 2)!! (2 1)!! ( ) ( 1) 2 3 1 1 + + + = − + + + n n n n x x n n r x